Kapitel 10 Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

Abschnitt 10.1 Vom Pfeil zum Vektor

10.1.4 Rechnen mit Vektoren

In diesem Abschnitt wird behandelt, wie man mit den - im vorigen Abschnitt 10.1.3 eingeführten - Vektoren rechnen kann. Das Rechnen mit Vektoren hat mehrere Aspekte: Zunächst kann man mit Vektoren, die man als 2- oder 3-Tupel angibt, die Rechenoperationen Addition, Subtraktion und - mit einer gewissen Einschränkung - auch Multiplikation durchführen, indem man diese Operationen komponentenweise ausführt. Dann haben diese Rechenoperationen aber auch eine geometrische Bedeutung für die Pfeile, welche die Vektoren repräsentieren. Man kann die Rechenoperationen für Vektoren auch als geometrische Operationen mit ihren Repräsentanten interpretieren. Schließlich führt diese geometrische Betrachtung des Rechnens mit Vektoren auch auf ein tieferes Verständnis von Orts- und Verbindungsvektoren von Punkten.
Das Rechnen mit zwei- und dreidimensionalen Vektoren funktioniert im Wesentlichen auf die gleiche Art und Weise. Bei den Rechenoperationen in Komponentenschreibweise werden im Folgenden immer beide Fälle (zwei- und dreidimensional) aufgeführt. Bei den zugehörigen Bildern, welche die geometrische Bedeutung der Operationen für die Repräsentanten der Vektoren sowie für Orts- und Verbindungsvektoren veranschaulichen, werden in diesem Abschnitt nur Pfeile und Punkte, keine Koordinatensysteme dargestellt. So sind diese Bilder sowohl für den zwei- als auch für den dreidimensionalen Fall gültig.
Da beim Rechnen mit Vektoren im Folgenden Vektoren durch Rechnung und Äquivalenzumformungen auseinander hervorgehen sollen, muss einmal festgehalten werden, unter welchen Umständen zwei Vektoren gleich sein sollen.

Info 10.1.8

Zwei Vektoren

\vec{a}, \vec{b} \in ℝ^{2} oder ℝ^{3}

sind genau dann gleich (symbolisch:

\vec{a} = \vec{b}

), wenn eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft (zutreffen):

$\vec{a}$ und $\vec{b}$ besitzen die gleichen Komponenten, also

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}) \Leftrightarrow a_{x} = b_{x} und a_{y} = b_{y}$
im zweidimensionalen Fall bzw.

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) \Leftrightarrow a_{x} = b_{x} und a_{y} = b_{y} und a_{z} = b_{z}$
im dreidimensionalen Fall. Dies ist auch unter der Bezeichnung Koordinaten- oder Komponentenvergleich bekannt.
$\vec{a}$ und $\vec{b}$ besitzen einen gleichen Repräsentanten.
$\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind beide Ortsvektor des gleichen Punktes.
$\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind beide Verbindungsvektor der gleichen zwei Punkte.

Diese Infobox macht auch klar, dass zwei Vektoren unterschiedlicher Dimension (also etwa

\vec{a} \in ℝ^{2}

und

\vec{b} \in ℝ^{3}

) niemals gleich sein können. Diese Vektoren sind wegen der unterschiedlichen Anzahl an Komponenten sogar nicht einmal miteinander vergleichbar. Rechnungen mit Vektoren finden also immer nur mit einer festen Anzahl an Komponenten statt (hier entweder zwei oder drei), und die Ergebnisse der Rechnungen sind dann immer auch Vektoren mit ebendieser festen Anzahl an Komponenten.

Info 10.1.9

Die Addition zweier Vektoren bedeutet die Addition aller ihrer Komponenten. Also

\vec{a} + \vec{b} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \end{matrix})

im zweidimensionalen Fall und

\vec{a} + \vec{b} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \\ a_{z} + b_{z} \end{matrix})

im dreidimensionalen Fall. Geometrisch kann die Vektoraddition als „Aneinanderhängen“ von Pfeilen oder als Ergänzung von zwei Pfeilen zu einem Parallelogramm interpretiert werden, je nachdem welche Repräsentanten der Vektoren man verwendet:

Auch bei der Addition von Vektoren gilt, analog zum Rechnen mit reellen Zahlen, das Kommutativ- und das Assoziativgesetz (vgl. Abschnitt 1.1.3)

\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}

sowie

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) .

Und der Nullvektor

\vec{O} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

bzw.

\vec{O} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

erfüllt die analoge Funktion für Vektoren, die die

0

für reelle Zahlen erfüllt:

\vec{a} + \vec{O} = \vec{O} + \vec{a} = \vec{a} .

Beispiel 10.1.10

Gegeben sind die Vektoren

\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

und

\vec{w} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix})

. Dann gilt

\vec{v} + \vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - 1 \\ - 1 + 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) .

Bild hierzu:

Weiterhin ist

\vec{w}

der Verbindungsvektor vom Punkt

P = (2; 0)

zum Punkt

Q = (1; 2)

, also

\vec{w} = \vec{P Q}

und

\vec{v}

ist der Verbindungsvektor vom Punkt

Q = (1; 2)

zum Punkt

R = (3; 1)

, also

\vec{v} = \vec{Q R}

. Dann stellt man fest, dass

\vec{w} + \vec{v} = \vec{P Q} + \vec{Q R} = \vec{P R}

gilt:

Das obige Beispiel zeigt, dass man mit Hilfe der Vektorrechnung auch Ausdrücke für Verbindungsvektoren von Punkten vereinfachen kann. Dies wird weiter unten bei der Subtraktion von Vektoren nochmals vertieft.

Aufgabe 10.1.11

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 8 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix})$ . Berechnen Sie $\vec{v} + \vec{u}$ .
$\vec{v} + \vec{u} =$
Gegeben sind die Punkte $P$ , $Q$ und $R$ . Welche der folgenden Ausdrücke sind gleich dem Ausdruck $(\vec{P} + \vec{P Q}) + \vec{Q R}$ ?

$\vec{P} + (\vec{P Q} + \vec{Q R})$

$\vec{P R}$

$\vec{Q R}$

$\vec{O R}$

$\vec{R}$

$\vec{Q} + \vec{Q R}$

$\vec{v} + \vec{u} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 + 1 \\ - 4 + 0 \\ 3 - 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ - 5 \end{matrix}) .$
$(\vec{P} + \vec{P Q}) + \vec{Q R} = \vec{P} + (\vec{P Q} + \vec{Q R}) (Assoziativgesetz)$

$= (\vec{O P} + \vec{P Q}) + \vec{Q R} = \vec{O Q} + \vec{Q R} = \vec{Q} + \vec{Q R} = \vec{O R} = \vec{R} .$

Untersucht man mögliche Rechenoperationen für Vektoren nun weiter, so stellt man fest, dass die komponentenweise Multiplikation oder Division von Vektoren keine sinnvolle Operation ist. Dies genauer zu verstehen, würde aber den mathematischen Rahmen dieses Brückenkurses sprengen. So muss man an dieser Stelle einfach akzeptieren, dass man Vektoren nicht so einfach miteinander multiplizieren und schon gar nicht durcheinander dividieren kann. Was allerdings möglich ist, ist die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen und - darauf aufbauend - auch die Subtraktion von Vektoren. Wichtig ist noch Folgendes: Wird im Nachfolgenden von der Länge eines Vektors gesprochen, so ist damit die geometrische Länge der Pfeile gemeint, die ihn repräsentieren. Das Konzept der Länge oder des Betrags eines Vektors wird weiter unten noch genauer untersucht.

Info 10.1.12

Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl bedeutet die Multiplikation in jeder Komponente. Ist also

\vec{a}

ein Vektor und

s \in ℝ

, so gilt

s \cdot \vec{a} = s \vec{a} = s (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} s a_{x} \\ s a_{y} \end{matrix})

im zweidimensionalen Fall und

s \cdot \vec{a} = s \vec{a} = s (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} s a_{x} \\ s a_{y} \\ s a_{z} \end{matrix})

im dreidimensionalen Fall. Die Division eines Vektors durch eine Zahl

0 \neq s \in ℝ

ist dann einfach gegeben durch die Multiplikation mit dem Kehrwert

\frac{1}{s}

\frac{\vec{a}}{s} = \frac{1}{s} \vec{a} .

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl

s \in ℝ

erhält man also einen gleich orientierten Vektor

s

-facher Länge, wenn

s > 0

ist. Wenn

s < 0

ist, hat der resultierende Vektor ebenfalls

s

-fache Länge, ist aber entgegengesetzt orientiert. Im Spezialfall

s = 0

, gilt offenbar

0 \vec{a} = \vec{O}

für jeden Vektor

\vec{a}

. Zwei weitere wichtige Fälle sind die Multiplikation mit

s = 1

1 \cdot \vec{a} = \vec{a}

- dies lässt den Vektor offenbar gleich - und die Multiplikation mit

s = - 1

- 1 \cdot \vec{a} = - \vec{a}

- dies ergibt den sogenannten Gegenvektor, ein Vektor gleicher Länge aber entgegengesetzter Orientierung. Bild hierzu:

Da reelle Zahlen bei Multiplikation die Länge von Vektoren ändern, sie also skalieren, nennt man reelle Zahlen in Bezug auf Vektoren oft auch Skalare und spricht bei der Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor von Skalarmultiplikation.

Beispiel 10.1.13

Gegeben ist der Vektor

\vec{v} = (\begin{matrix} 3 \\ \frac{3}{2} \end{matrix})

. Dann gilt zum Beispiel

2 \vec{v} = 2 (\begin{matrix} 3 \\ \frac{3}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot \frac{3}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})

und

- \frac{\vec{v}}{3} = - \frac{1}{3} \vec{v} = - \frac{1}{3} (\begin{matrix} 3 \\ \frac{3}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}) .

Außerdem gilt zum Beispiel

\vec{v} = \vec{P Q}

für

P = (3; \frac{1}{2})

und

Q = (6; 2)

, da

\vec{v} = (\begin{matrix} 3 \\ \frac{3}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 - 3 \\ 2 - \frac{1}{2} \end{matrix}) .

Dann ist aber

- \vec{v} = - \vec{P Q} = \vec{Q P},

- \vec{v} = (\begin{matrix} - 3 \\ - \frac{3}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 - 6 \\ \frac{1}{2} - 2 \end{matrix})

gilt. Bild dazu:

Für das Rechnen mit Vielfachen von Vektoren gilt nun der folgende Satz von Rechengesetzen.

Info 10.1.14

Sind

r

und

s

reelle Zahlen sowie

\vec{a}

und

\vec{b}

Vektoren, so gelten die folgenden Rechengesetze:

$r \vec{a} = \vec{a} r$
$r s \vec{a} = (r s) \vec{a} = r (s \vec{a})$
$(r + s) \vec{a} = r \vec{a} + s \vec{a}$
$r (\vec{a} + \vec{b}) = r \vec{a} + r \vec{b}$
$r (- \vec{a}) = (- r) \vec{a} = - (r \vec{a})$
$r \vec{a} = 0 \Leftrightarrow r = 0$ oder $\vec{a} = \vec{O}$

Die Nummer 1 heißt auch Kommutativgesetz der Skalarmultiplikation, die Nummer 2 Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation und die Nummern 3 und 4 Distributivgesetze der Skalarmultiplikation.

Mit Hilfe des Konzeptes des Gegenvektors, kann nun auch festgehalten werden, was die Subtraktion von Vektoren bedeutet.

Info 10.1.15

Sind

\vec{a}

und

\vec{b}

Vektoren, so ist ihre Differenz

\vec{a} - \vec{b}

gegeben als die Summe von

\vec{a}

und dem Gegenvektor von

\vec{b}

. Also gilt

\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b}) = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - b_{x} \\ - b_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{x} - b_{x} \\ a_{y} - b_{y} \end{matrix})

im zweidimensionalen Fall und

\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b}) = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - b_{x} \\ - b_{y} \\ - b_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{x} - b_{x} \\ a_{y} - b_{y} \\ a_{z} - b_{z} \end{matrix})

im dreidimensionalen Fall. Damit kann die Differenz von Vektoren auch geometrisch mit Hilfe ihrer Repräsentanten interpretiert werden:

Betrachtet man in dieser Infobox nur die Differenz von Vektoren anhand ihrer Komponenten, so kann man sich fragen, wozu hierfür überhaupt das Konzept des Gegenvektors notwendig ist. Tatsächlich könnte man die Differenz von Vektoren in Komponenten auch ohne die Idee des Gegenvektors in Analogie zur Summe hinschreiben. Überlegt man sich dann aber die geometrische Interpretation der Differenz mit Hilfe von Repräsentanten (vgl. die Abbildung in der Infobox), so sieht man, dass dies nur mit Hilfe des Gegenvektors möglich ist.

Beispiel 10.1.16

Es werden in diesem Beispiel einige typische Aufgabenstellungen betrachtet, welche die bisher behandelten Rechengesetze für Vektoren beinhalten.

Es sind die folgenden Vektorausdrücke zu vereinfachen:
- $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0.5 \end{matrix}) - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix})$ ,
- $2 (\vec{v} - \vec{w}) + 3 r \vec{w} - r \cdot (- 2 \vec{v})$ für $r \in ℝ$ .
Anwenden der Rechengesetze ergibt:
- $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0.5 \end{matrix}) - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0.5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 1 \\ - 2 - (- \frac{3}{2}) \\ 0.5 - \frac{1}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}) .$
- $2 (\vec{v} - \vec{w}) + 3 r \vec{w} - r \cdot (- 2 \vec{v}) = 2 \vec{v} - 2 \vec{w} + 3 r \vec{w} + 2 r \vec{v} = 2 (r + 1) \vec{v} + (3 r - 2) \vec{w} .$
Für $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} - 8 \\ 3 \end{matrix})$ ist der unbekannte Vektor $\vec{x}$ in der Gleichung

$\vec{a} - 2 \vec{b} - (3 \vec{a} + \vec{x}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})$
zu bestimmen.
Auflösen nach $\vec{x}$ sowie Einsetzen von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt:

$- (3 \vec{a} + \vec{x}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}) - \vec{a} + 2 \vec{b} \Leftrightarrow - \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}) - \vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{a} = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}) + 2 (\vec{a} + \vec{b})$

$\Leftrightarrow \vec{x} = - (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}) - 2 ((\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 8 \\ 3 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} - 7 \\ 5 \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{x} = (\begin{matrix} 14 \\ - 9 \end{matrix}) .$
Unter Benutzung der Differenz von Vektoren soll der Verbindungsvektor $\vec{P Q}$ zweier Punkte $P$ und $Q$ mit Hilfe der Ortsvektoren $\vec{P}$ und $\vec{Q}$ ausgedrückt werden. Es gilt:

$\vec{Q} - \vec{P} = \vec{O Q} - \vec{O P} = - \vec{Q O} - \vec{O P} = - (\vec{Q O} + \vec{O P}) = - \vec{Q P} = \vec{P Q} .$
Der Verbindungsvektor $\vec{P Q}$ von einem Punkt $P$ zu einem Punkt $Q$ ergibt sich also immer als die Differenz des Ortsvektor $\vec{Q}$ (zum Endpunkt des Verbindungsvektors) und des Ortsvektors $\vec{P}$ (zum Anfangspunkt des Verbindungsvektors). Dies zeigt auch nochmals das folgende Bild und ein Vergleich mit der Rechenregel für Verbindungsvektoren aus 10.1.5:
Die Punkte $A = (2; 1)$ , $B = (4; 2)$ und $C = (3; 3)$ bilden die Ecken eines Dreiecks. Der (geometrische) Schwerpunkt $S$ dieses Dreiecks kann mit Hilfe der zugehörigen Ortsvektoren berechnet werden:

$\vec{S} = \frac{1}{3} (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3} ((\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 9 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) .$
Somit ist $S = (3; 2)$ . Bild hierzu:

Aufgabe 10.1.17

Es sind $P$ , $Q$ , $R$ und $S$ Punkte im Raum. Vereinfachen Sie den Ausdruck

$\vec{P Q} - (\vec{P Q} - \vec{Q R}) + \vec{R S}$
so weit wie möglich.
Zeigen Sie, dass die Punkte $A = (1; 2)$ , $B = (4; 3)$ und $C = (3; 1)$ zusammen mit dem Ursprung die Ecken eines Parallelogramms bilden.

$\vec{P Q} - (\vec{P Q} - \vec{Q R}) + \vec{R S} = \vec{P Q} - \vec{P Q} + \vec{Q R} + \vec{R S} = \vec{O} + \vec{Q R} + \vec{R S} = \vec{Q S} .$
Nach der geometrischen Interpretation der Vektoraddition, ergibt sich ein Parallelogramm, wenn einer der Ortsvektoren $\vec{A}$ , $\vec{B}$ oder $\vec{C}$ die Summe der jeweils anderen beiden Ortsvektoren ist. Da

$\vec{A} + \vec{C} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) = \vec{B}$
gilt, bilden die drei Punkte zusammen mit dem Ursprung ein Parallelogramm:

Aufgabe 10.1.18

Vereinfachen Sie jeweils so weit wie möglich:

$2 (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) - 3 (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) =$ .
$- 2 (\begin{matrix} - t \\ 3 \end{matrix}) - ((\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{t}{2} (\begin{matrix} 4 \\ - 42 \end{matrix})) =$ .

Vektoren können in der Form (a;b) bzw. (a;b;c) eingegeben werden.

$2 (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) - 3 (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 8 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 18 \\ - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ - 10 \\ 10 \end{matrix}) .$
$- 2 (\begin{matrix} - t \\ 3 \end{matrix}) - ((\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{t}{2} (\begin{matrix} 4 \\ - 42 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 2 t \\ - 6 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 t \\ - 21 t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 21 t - 6 \end{matrix}) .$

Aufgabe 10.1.19

Bestimmen Sie den Vektor

\vec{y}

in der Gleichung

3 ((\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) - \vec{y}) = - 8 (\begin{matrix} 0.25 \\ 0.25 \\ - 0.25 \end{matrix}) + \vec{y} .

\vec{y} =

3 ((\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) - \vec{y}) = - 8 (\begin{matrix} 0.25 \\ 0.25 \\ - 0.25 \end{matrix}) + \vec{y} \Leftrightarrow (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = 4 \vec{y}

\Leftrightarrow 4 \vec{y} = (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{y} = (\begin{matrix} \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \end{matrix}) .

Da Vektoren durch beliebig viele Pfeile repräsentiert werden, die alle durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen, haben alle diese Repräsentanten die gleiche geometrische Länge (nämlich immer den Abstand der beiden Punkte, die sie verbinden). Deshalb ist es auch sinnvoll von der Länge eines Vektors zu sprechen. Die Länge eines Vektors trägt in der Mathematik die Bezeichnung Betrag oder Norm.

Info 10.1.20

Der Betrag oder die Norm eines Vektors

\vec{a}

wird als

| \vec{a} |

geschrieben und ist der Abstand desjenigen Punktes

P

vom Ursprung

O

, zu dem der Vektor

\vec{a}

der zugehörige Ortsvektor ist (also

\vec{P} = \vec{a}

). Also gilt

| \vec{a} | = [\overline{O P}]

und folglich im zweidimensionalen Fall

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}

sowie im dreidimensionalen Fall

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} .

Ein Vektor mit Betrag

1

wird auch Einheitsvektor genannt.

Durch einen Vergleich mit der Infobox 9.3.2 zum Abstand zweier Punkte in einem zweidimensionalen Koordinatensystem in Kapitel 9, ist die Formel für den zweidimensionalen Fall unmittelbar einsichtig:

Es handelt sich wieder um eine einfache Anwendung des Satzes des Pythagoras. Im dreidimensionalen Fall ist die Lage nicht wesentlich komplizierter. Auch hier hilft der Satz des Pythagoras weiter:

In dieser Abbildung sind zwei rechtwinklige Dreiecke zu sehen. Das rechtwinklige Dreieck in der

xz

-Ebene ergibt eine Länge von

\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}

für die blaue Linie. Das zweite rechtwinklige Dreieck gibt dann für die Streckenlänge von

O

nach

P

, also für

| \vec{a} |

\sqrt{a_{y}^{2} + {(\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}})}^{2}} = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} .

Für Normen von Vektoren gilt der folgende Satz von Rechenregeln.

Info 10.1.21

Sind

\vec{a}

und

\vec{b}

Vektoren (beide aus dem

ℝ^{2}

oder beide aus dem

ℝ^{3}

) und ist

r \in ℝ

, so gilt

$| \vec{a} | \geq 0$ und $| \vec{a} | = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{O}$ ,
$| r \vec{a} | = | r | \cdot | \vec{a} |$ und
$| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ .

Nummer 1 stellt fest, dass Normen immer nicht-negativ sind und dass nur der Nullvektor die Norm

0

hat. Nummer 2 ist besonders hilfreich für das Berechnen von Normen von Vielfachen von Vektoren. Nummer 3 heißt Dreiecksungleichung.

Beispiel 10.1.22

Der Betrag des Vektors $\frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ \sqrt{6} \end{matrix})$ berechnet sich zu

$| \frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ \sqrt{6} \end{matrix}) | = | \frac{1}{4} | | (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ \sqrt{6} \end{matrix}) | = \frac{1}{4} \sqrt{3^{2} + (- 1)^{2} + 6} = \frac{\sqrt{16}}{4} = 1 .$
Es handelt sich also um einen Einheitsvektor.
Es ist eine Zahl $q \in ℝ$ zu finden, so dass $| (\begin{matrix} q^{2} - 2 \\ 4 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} q - 1 \\ q \end{matrix}) | = 0$ gilt.

$| (\begin{matrix} q^{2} - 2 \\ 4 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} q - 1 \\ q \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} q^{2} - 2 q \\ 4 - 2 q \end{matrix}) | = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} q^{2} - 2 q \\ 4 - 2 q \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

$\Leftrightarrow q^{2} - 2 q = 0 und 4 - 2 q = 0 \Leftrightarrow q (q - 2) = 0 und 2 (2 - q) = 0 \Leftrightarrow q = 2 .$

Aufgabe 10.1.23

Berechnen Sie

| - \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ - 14 \\ 5 \end{matrix}) | =

| - \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ - 14 \\ 5 \end{matrix}) | = | - \frac{1}{3} | \cdot | (\begin{matrix} 2 \\ - 14 \\ 5 \end{matrix}) | = \frac{1}{3} \sqrt{2^{2} + (- 14)^{2} + 5^{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{225} = \frac{15}{3} = 5 .

Aufgabe 10.1.24

Finden Sie die Zahl

χ > 3

, für die

| (\begin{matrix} 3 \\ χ \end{matrix}) - (\begin{matrix} χ \\ 3 \end{matrix}) | = 2 \sqrt{2}

gilt:

χ =

| (\begin{matrix} 3 \\ χ \end{matrix}) - (\begin{matrix} χ \\ 3 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 3 - χ \\ χ - 3 \end{matrix}) | = \sqrt{(3 - χ)^{2} + (χ - 3)^{2}} = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2 (3 - χ)^{2}} = 2 \sqrt{2}

\Leftrightarrow | 3 - χ | = 2 \Leftrightarrow χ = 1 oder χ = 5 .

χ > 3

vorgegeben ist, folgt

χ = 5

Aufgabe 10.1.25

Zeigen Sie, dass die Punkte

A = (4; 2; 7)

B = (3; 1; 9)

und

C = (2; 3; 8)

die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden.

Das Dreieck ist gleichseitig, falls

| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = | \vec{B C} |

gilt.

| \vec{A B} | = | \vec{B} - \vec{A} | = | (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 9 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) | = \sqrt{(- 1)^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6},

| \vec{A C} | = | \vec{C} - \vec{A} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6},

| \vec{B C} | = | \vec{C} - \vec{B} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 9 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) | = \sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{6} .

Somit ist das Dreieck gleichseitig.

Onlinebrückenkurs Mathematik

1. Elementares Rechnen

2. Gleichungen in einer Unbekannten

3. Ungleichungen in einer Unbekannten

4. Lineare Gleichungssysteme

5. Geometrie

6. Elementare Funktionen

7. Differentialrechnung

8. Integralrechnung

9. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

10. Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

11. Sprechweisen der Statistik

Kapitel 10 Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

10.1.4 Rechnen mit Vektoren

Info 10.1.8

Info 10.1.9

Beispiel 10.1.10

Aufgabe 10.1.11

Info 10.1.12

Beispiel 10.1.13

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Info 10.1.15

Beispiel 10.1.16

Aufgabe 10.1.17

Aufgabe 10.1.18

Aufgabe 10.1.19

Info 10.1.20

Info 10.1.21

Beispiel 10.1.22

Aufgabe 10.1.23

Aufgabe 10.1.24

Aufgabe 10.1.25

		$\vec{P} + (\vec{P Q} + \vec{Q R})$
		$\vec{P R}$
		$\vec{Q R}$
		$\vec{O R}$
		$\vec{R}$
		$\vec{Q} + \vec{Q R}$