Kapitel 1 Elementares Rechnen

Abschnitt 1.1 Zahlen, Variablen, Terme

1.1.3 Terme umformen

Verschiedene Operationen in einem Term können den gleichen Wert beschreiben, beispielsweise ist

x + x

eine von

2 x

verschiedene Symbolanordnung, die aber den gleichen Term beschreibt, d.h. wenn man eine konkrete Zahl für

x

einsetzt kommt bei

x + x

und

2 x

der gleiche Wert heraus.

Info 1.1.17

Zwischen Termen wird ein Gleichheitszeichen geschrieben, wenn diese stets zum gleichen Wert ausgewertet werden.

Neue Terme entstehen in der Regel durch Umformen vorhandener Terme:

Info 1.1.18

Eine Umformung eines Terms entsteht, indem man eine oder mehrere Rechenregeln auf einen Term anwendet:

Zusammenfassen: $a + a + \dots + a = n \cdot a$ ( $n$ ist die Anzahl der Summanden).
Distributivgesetze („Ausmultiplizieren“): $(a + b) \cdot c = a c + b c$ und $c \cdot (a + b) = c a + c b$ .
Kommutativgesetz: $a + b = b + a$ .
Assoziativgesetz („Klammern umsetzen bei gleichen Operationen“): $a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c$ , ebenso für die Multiplikation.
Rechenregeln für Potenzen und spezielle Funktionen.
Rechenregeln für bestimmte Formen von Termen (z.B. die binomischen Formeln).
Rechenregeln für Brüche: $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$ .

Die Regeln werden im Detail in den folgenden Abschnitten vorgestellt. Ziel dieser Umformungen ist es meist, den Term einfacher zu machen, einzelne Variablen zu isolieren oder den Term in eine gewünschte Form zu bringen:

Beispiel 1.1.19

Zulässige Umformungen sind

$a (a + a + a) + a^{2} + a^{2} + a^{2} = 6 a^{2}$ , der Term auf der rechten Seite ist einfacher da er weniger Symbole benötigt.
$(x + 3)^{2} - 9 = x^{2} + 6 x$ (1. binomische Formel), beide Terme beschreiben eine Parabel. An der linken Seite kann man gut den Scheitelpunkt $(- 3, - 9)$ ablesen, an der rechten Seite die beiden Nullstellen ( $x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 6$ ).
$1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3} = (1 + x)^{3}$ , an der rechten Seite kann man beispielsweise ablesen, dass die durch den Term beschriebene Funktion nur die Nullstelle $x_{1} = - 1$ besitzt.
$\frac{a + 1}{a} = 1 + \frac{1}{a}$ , an der linken Seite kann man ablesen, dass der Term die Nullstelle $a_{1} = - 1$ besitzt, an der rechten Seite kann man ablesen, dass der Term für sehr große $a$ gegen den Wert $1$ strebt (weil $\frac{1}{a}$ dann sehr klein ist).

Aufgabe 1.1.20

Formen Sie in eine Summendarstellung um:

a \cdot (b + c) + c \cdot (a + b)

=

a \cdot (b + c) + c \cdot (a + b) = a b + a c + c a + c b = a b + 2 a c + b c

Aufgabe 1.1.21

Formen Sie in eine Summendarstellung um:

(x - y) (z - x) + (x - z) (y - z)

=

(x - y) (z - x) + (x - z) (y - z) = x z - x^{2} - y z + y x + x y - x z - z y + z^{2} = - x^{2} - 2 y z + 2 x y + z^{2}

Aufgabe 1.1.22

Formen Sie in eine Summendarstellung um:

(a + b + 2) (a + 1)

=

(a + b + 2) (a + 1) = a^{2} + b a + 2 a + a + b + 2 = a^{2} + a b + 3 a + b + 2

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1. Elementares Rechnen

2. Gleichungen in einer Unbekannten

3. Ungleichungen in einer Unbekannten

4. Lineare Gleichungssysteme

5. Geometrie

6. Elementare Funktionen

7. Differentialrechnung

8. Integralrechnung

9. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

10. Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

11. Sprechweisen der Statistik

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1.1.3 Terme umformen

Info 1.1.17

Info 1.1.18

Beispiel 1.1.19

Aufgabe 1.1.20

Aufgabe 1.1.21

Aufgabe 1.1.22