Kapitel 11 Sprechweisen der Statistik

Abschnitt 11.3 Statistische Maßzahlen

11.3.3 Streuungsmaße

Mittelwerte und Quantile sind Lagemaße, d.h. sie sagen etwas über die absolute Lage der qualitativen Werte $x_j$ aus. Addiert man zu jedem $x_j$ eine Konstante $c$, so erhöhen sich auch die Lagemaße um $c$. Streuungsmaße sind dagegen Maßzahlen, die etwas über die Streuung oder relative Verteilung der Datenwerte aussagen, unabhängig von ihrer absoluten Lage. Vorgegeben sei eine Stichprobe vom Umfang $n\ge 2$ zu einem quantitativen Merkmal $X$. Die Urliste sei $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in ℝ{}^n$.

Die Stichprobenvarianz ist ein Streuungsmaß, welches die Variabilität einer Beobachtungsreihe beschreibt. Je kleiner die Varianz, desto „näher“ sind die Datenwerte beieinander. die Varianz $s_x^2=0$ ist nur möglich, wenn alle Datenwerte gleich sind. Sie steigt mit zunehmendem $n$ typischerweise stark an, die Standardabweichung ist ein besserer Maßstab um die „Weite“ der Verteilung der Datenwerte einzuschätzen. Die beiden Formeln haben ein paar Tücken:

• Um die Varianz ausrechnen zu können, muss der Mittelwert $\bar{x}$ schon bekannt sein.
  
• Die Tatsache, dass in der Definition von $s_x^2$ durch $n-1$ und nicht durch das zunächst naheliegende $n$ dividiert wird, hat tieferliegende mathematische Gründe, die erst in den Statistikvorlesungen behandelt werden können.
  
• Die Schreibweise $s_x=+\sqrt{s_x^2}$ ist ein wenig irreführend, man darf das Quadrat nicht mit der Wurzel kürzen, denn tatsächlich muss man erst $s_x^2$ ausrechnen (und dieser Wert ist nicht als Einzelquadrat definiert), um $s_x$ bestimmen zu können.
  
• Vorsicht ist bei der Benutzung eines Taschenrechners mit Statistikfunktionen geboten: Die Stichprobenvarianz erhält man mit der Taste $s^2$, die Taste ${\sigma }^2$ liefert dagegen die Summe mit Nenner $n$ statt $n-1$, das ist nicht die Stichprobenvarianz.