8.3.4 Aufgaben

Die Funktion $f$ mit $f(x)=3\sin \left(x\right)$ hat auf dem Intervall $[-2\pi ;2\pi ]$ die Nullstellen $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$ und $2\pi$. Da der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Nullpunkt ist, ergibt sich der Flächeninhalt mit der folgenden Rechnung zu


Die Berechnung ist natürlich auch ohne die Beobachtung möglich, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Nullpunkt ist.

Zur Berechnung des Flächeninhalts $I_A$ der Fläche zwischen den Funktionsgraphen von $f$ und $g$ wird $f-g$ mit $f(x)-g(x)=3-(x-2{)}^2-2·(x-2{)}^4$ auf dem Intervall $[1;3]$ betrachtet.
Aus den Zeichnungen der Funktionsgraphen ist zu sehen, dass die Differenz $f(x)-g(x)$ größer gleich Null für $x\in [1;3]$ ist. Dies kann auch rechnerisch festgestellt werden: Nach Voraussetzung ist hier $1\le x\le 3$ und damit $-1\le x-2\le 1$. Folglich ist hier $(x-2{)}^2\le 1$ und damit $-(x-2{)}^2\ge -1$, sodass

${\displaystyle f(x)-g(x)\ge 3-1-2·1=0}$
für $1\le x\le 3$ gilt.
Für die Berechnung des Flächeninhalts ist somit das Integral ${\displaystyle {\int }_1^3(f(x)-g(x))dx}$ auszuwerten. Dazu können die Funktionsterme ausmultipliziert und mit der Summenregel integriert werden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die beiden Funktionsterme genauer zu betrachten: In der gegebenen Situation des Beispiels liegen mit $(x-2{)}^2$ bzw. $(x-2{)}^4$ Terme vor, die durch Verschiebung aus den bekannten Termen $z^2$ bzw. $z^4$ gemäß $z=x-2$ hervorgehen. Eine Stammfunktion von $h$ mit $h(z)=z^2$ ist $H$ mit $H(z)=\frac{1}{3}·z^3$. Wenn man jetzt entsprechend $F$ mit $F(x)=3x-\frac{1}{3}·(x-2{)}^3$ betrachtet, ergibt sich mit der Kettenregel $F\text{'}(x)=3-\frac{1}{3}·3·(x-2{)}^2·1=f(x)$. Dabei ergibt sich der letzte Faktor aus der Ableitung der inneren Funktion $u$ mit $u(x)=x-2$. Deshalb ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Entsprechend kann man nachrechnen, dass $G$ mit $G(x)=\frac{2}{5}·(x-2{)}^5$ eine Stammfunktion von $g$ ist.
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt $I_A$ zwischen den Funktionsgraphen

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{I_A}& =\hfill & \left|{\int }_1^3(3-(x-2{)}^2-2·(x-2{)}^4)dx\right|\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \left|{[3x-\frac{1}{3}(x-2{)}^3-\frac{2}{5}(x-2{)}^5]}_1^3\right|\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & |27-\frac{1}{3}-\frac{2}{5}-(3+\frac{1}{3}+\frac{2}{5})|\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 22+\frac{8}{15}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$

Die Kraft $F_s$ längs des Weges, durch die der kleine Körper $k$ mit der Masse $m$ von der Oberfläche des Körpers $K$ weg bewegt wird, zeigt entgegen der Gravitationskraft $F$. Somit ist $F_s=-F$.
Die aufzuwendende Arbeit $W$ von $r_1=1$ zu $r_2=4$ ergibt sich damit zu

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{W={\int }_1^4{F}_s(r)\hspace{0.17em}dr=-{\int }_1^{4}F(r)\hspace{0.17em}dr}& =\hfill & -{\int }_1^4-\gamma ·\frac{2·m}{r^2}\hspace{0.17em}dr\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & {\int }_1^4\gamma ·\frac{2·m}{r^2}\hspace{0.17em}dr\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & {[-\gamma ·\frac{2·m}{r}]}_1^4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -\gamma ·2·m(\frac{1}{4}-\frac{1}{1})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \gamma ·\frac{3m}{2}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$