Kapitel 9 Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

Abschnitt 9.1 Kartesische Koordinatensysteme in der Ebene

9.1.2 Punkte in kartesischen Koordinatensystemen


Wenn man nun Punkte in der Ebene durch Koordinaten beschreiben möchte, benutzt man auch hier oft Variablen. Typischerweise sind dies Großbuchstaben A,B,C,… oder P,Q,R,… für Punkte und Kleinbuchstaben a,b,c,… oder x,y,… für ihre Koordinaten. Zunächst wird nun festgelegt, was unter einem Punkt in der Ebene, in welcher ein Koordinatensystem gegeben ist, zu verstehen sein soll und welche Schreibweisen dafür im Folgenden benutzt werden.
Info 9.1.1
 
Ein Punkt in der Ebene, bezüglich eines gegebenen Koordinatensystems, wird beschrieben durch P=(a;b), dabei ist P die Variable für den Punkt und a und b sind seine Koordinaten. Seine Abszisse oder seine x-Koordinate ist a und seine Ordinate oder y-Koordinate ist b:


Für Punkte gibt es verschiedene Notationen. In der Schule wird oft P(a|b) statt P=(a;b) geschrieben, oft statt dem Semikolon ein Trennstrich oder ein Komma als Trennzeichen zwischen den Koordinaten benutzt. In diesem Kurs wird durchgehend die Bezeichnung P=(a;b) verwendet. Da Punkte durch ihre Koordinaten eindeutig bestimmt werden, wird im Folgenden nicht mehr zwischen dem Punkt P und seinen Koordinaten (a;b) unterschieden, sondern beide werden als das gleiche Objekt aufgefasst. Ein besonderer Punkt in jedem Koordinatensystem ist natürlich der Ursprung mit dem Koordinatenpaar (0;0); für diesen wird üblicherweise die Variable O (vom englischen origin) reserviert, also: O=(0;0).
Beispiel 9.1.2
In dem folgenden Schaubild sind die drei Punkte P=(2;4), Q=(-1;1) und R=(0;-1) abgebildet. Der Punkt Q beispielsweise besitzt die x-Koordinate -1 (eine Längeneinheit nach links auf der Abszissenachse) und die y-Koordinate 1 (eine Längeneinheit nach oben auf der Ordinatenachse):


Aufgabe 9.1.3
Geben Sie die Koordinaten der im folgenden Koordinatensystem eingezeichneten Punkte an.
  1. P  =  .
  2. Q  =  .
  3. R  =  .
Geben Sie Punkte in der Form (x;y) ein, beispielsweise (12;-4) für den Punkt mit der x-Koordinate 12 und der y-Koordinate -4.

In den folgenden Abschnitten sollen nun weitere geometrische Objekte, wie etwa Geraden und Kreise, durch Koordinaten beschrieben werden. Dafür muss man sich zunächst klarmachen, dass Punkte in der Ebene (beschrieben durch ihre Koordinaten bezüglich eines vorgegebenen Koordinatensystems) wieder zu Mengen, sogenannten Punktmengen, zusammengefasst werden können. Dies veranschaulicht das folgende Beispiel:
Beispiel 9.1.4
In der folgenden Abbildung sind drei Punkte eingezeichnet.
Diese Punktmenge kann durch folgende Mengenangaben beschrieben werden:

{(-0.5;-0.5);(1;1);(2;2)}={(a;a) : a∈{-0.5;1;2}}


Aufgabe 9.1.5
Zeichnen Sie die folgenden Punktmengen in ein kartesisches Koordinatensystem ein.
  • {(i;i+1) : i∈{-2;-1;0;1;2}}
  • { ( 1 n ;0 ) : n=1∨n=2∨n=4}∪{(-1;-2)}
  • Die Menge aller Punkte im I. Quadranten mit ganzzahliger Abszisse kleiner 5 und Ordinate 1


Wie aus Kapitel 5 bekannt ist, handelt es sich bei Geraden und Kreisen um Mengen von unendlich vielen Punkten. Deren Koordinaten mittels Punktmengen und geeigneten Gleichungen zu beschreiben, ist Inhalt der folgenden Abschnitte. Eine spezielle unendliche Punktmenge ist die Zusammenfassung aller Punkte in einem Koordinatensystem in der Ebene zu einer Menge. Für diese Menge gibt es eine besondere Bezeichnung:
Info 9.1.6
 
Die Menge aller Punkte in der Ebene, als Koordinatenpaare bezüglich eines gegebenen kartesischen Koordinatensystems, werden mit

ℝ2 :={(x;y) : x∈ℝ∧y∈ℝ}

bezeichnet. Das Symbol ℝ2 wird dabei als „ ℝ zwei“, „ ℝ hoch zwei“ oder „ ℝ Quadrat“ gesprochen. Dies spiegelt wieder, dass jeder Punkt durch ein Koordinatenpaar, bestehend aus zwei reellen Zahlen, beschrieben werden kann.


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