Kapitel 1 Elementares Rechnen

Abschnitt 1.1 Zahlen, Variablen, Terme

1.1.2 Variablen und Terme


Die Verwendung von Variablen, Termen und Gleichungen ist notwendig, um Aussagen mit noch unbestimmten Werten zu formalisieren.
Info 1.1.6
 
Eine Variable ist ein Symbol (typischerweise ein Buchstabe), das als Platzhalter für einen unbestimmten Wert eingesetzt wird. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Variablen, Rechenoperationen und weitere Symbole enthalten kann, und der nach Einsetzung von Zahlen für die Variablen einen konkreten Zahlenwert ergibt. Terme können zu Gleichungen bzw. Ungleichungen kombiniert oder in Funktionsbeschreibungen eingesetzt werden, dazu später mehr.

Beispiel 1.1.7
Die textuelle Frage
In einer Schulklasse gibt es vier Mädchen mehr als Jungs und insgesamt 20 Kinder, wieviele Mädchen bzw. Jungs sind in der Klasse?
kann man beispielsweise formalisieren, indem man die Variablen a für die Anzahl der Mädchen und b für die Anzahl der Jungs in der Schulklasse einführt und damit die beiden Gleichungen a=b+4 und a+b=20 aufstellt. Diese kann man durch Einsetzen nun auflösen zu a=12 und b=8 und daraus den textuellen Antwortsatz
In der Schulklasse befinden sich 12 Mädchen und 8 Jungs
aufbauen. Dabei ist beispielsweise b+4 ein Term, b selbst ist eine Variable und a+b=20 ist eine Gleichung mit einem Term auf der linken und einer Zahl auf der rechten Seite.

Generell werden Variablen (und manchmal auch Terme) mit kleinen lateinischen Buchstaben x, y, z, usw. bezeichnet. Oft werden auch griechische Buchstaben dafür verwendet, zum Beispiel wenn Winkel(variablen) von Zahlen(variablen) unterschieden werden sollen.
Info 1.1.8
 
Hier werden die Buchstaben des griechischen Alphabets in einer Übersicht gezeigt, die auch die Großbuchstaben enthält, sortiert nach dem griechischen Alphabet:  
α, A „alpha“  β, B „beta“  γ, Γ„gamma“  δ, Δ„delta“  ε, E „epsilon“
ζ, Z „zeta“  η, H „eta“  ϑ, Θ„theta“  ι, I „iota“  κ, K „kappa“
λ, Λ„lambda“  μ, M „mü“  ν, N „nü“  ξ, Ξ„xi“  o, O „omikron“
π, Π„pi“  ϱ, P „rho“  σ, Σ„sigma“  τ, T „tau“  υ, ϒ„üpsilon“
φ, Φ„phi“  χ, X „chi“  ψ, Ψ„psi“  ω, Ω„omega“    
 
Griechische Buchstaben können in Aufgaben mit Ihrer Bezeichnung eingegeben werden, z. B. alpha statt α.

Bei einem Term ist wesentlich, dass er zu einem konkreten Zahlenwert ausgewertet werden kann, wenn man Zahlen für die im Term auftretenden Variablen einsetzt:
Beispiel 1.1.9
Die folgenden Ausdrücke sind Terme:
  • x·(y+z)-1, für x=1, y=2 und z=0 erhält man beispielsweise den Wert 1 des Terms.
  • sin(α)+cos(α), für α= 0∘ und β= 0∘ erhält man beispielsweise den Wert 1 (für die Berechnung von Sinus und Kosinus sei auf das Kapitel 5 verwiesen).
  • 1+2+3+4, es treten keine Variablen auf, trotzdem handelt es sich um einen Term (der immer den Wert 10 ergibt).
  • α+β 1+γ , beispielsweise erhält man für α=1, β=2 und γ=3 den Wert 3 4 für den Term. Hier darf man aber nicht γ=-1 einsetzen.
  • sin(π(x+1)), beispielsweise ergibt der Term den Wert Null wenn man für x eine ganze Zahl einsetzt.
  • z, eine Variable für sich allein ist auch ein Term.
  • 1+2+3+…+(n-1)+n ist ein Term, bei dem die Variable n im Term auftritt und gleichzeitig seine Länge festlegt.

Beispiel 1.1.10
Diese Ausdrücke sind keine Terme im Sinne der Mathematik:
  • a+b=20, ist eine Gleichung (Einsetzen von Werten für a und b ergibt keine Zahl, sondern die Gleichung ist eben wahr oder falsch).
  • a·(b+c ist nicht richtig geklammert,
  • „Anteil der Mädchen in der Schulklasse“ ist kein Term, kann aber durch den Term a a+b formalisiert werden,
  • sin ist kein Term sondern ein Funktionsname, dagegen ist sin(α) ein Term (der bei Einsetzen eines Winkels für α ausgewertet werden kann).

Aufgabe 1.1.11
Gegeben sind jeweils ein Term und Zahlenwerte für die im Term auftretenden Variablen. Wie lautet die Auswertung des Terms?
  1. α+β α-β nimmt den Wert
    an für α=6 und β=4.
  2. y2 + x2 nimmt den Wert
    an für y=2x+1 und x=-1.
  3. 1+2+3+…+(n-1)+n nimmt den Wert
    an für n=6.

Aufgabe 1.1.12
Formalisieren Sie mit den vorgegebenen Variablen den Anteil der Mädchen, deren Anzahl durch die Variable a gegeben sei, sowie den der Jungen, deren Anzahl durch die Variable b gegeben sei, an der Gesamtzahl an Kindern:
Anteil der Mädchen ist
und Anteil der Jungen ist .
Brüche können mit dem Strich (über der 7-Taste auf den meisten Tastaturen) eingegeben werden, dabei sollten Zähler bzw. Nenner geklammert werden wenn Rechenoperationen auftreten. Beispielsweise kann man den Bruch 1+x 2+y eingeben als (1+x)/(2+y).

Terme können auch ineinander eingesetzt werden:
Info 1.1.13
 
Beim Einsetzen von Termen wird ein Term anstelle eines Symbols in einem anderen Term eingesetzt, wobei das ersetzte Symbol ggf. vorher geklammert werden muss, wenn der einzusetzende Term mehrere Ausdrücke enthält.

Beispiel 1.1.14
Setzt man in den Term x2 + y2 beispielsweise den Wert x=1+2+3 ein, so entsteht der neue Term x2 + y2 =(1+2+3 )2 + y2 =36+ y2 , und nicht etwa 1+2+ 32 + y2 =12+ y2 .

Aufgabe 1.1.15
Welcher Term entsteht, wenn man in x2 + y2 Folgendes einsetzt und soweit wie möglich vereinfacht:
  1. Den Winkel α sowohl für x als auch für y: Dann ist x2 + y2  =  .
  2. Die Zahl 2 für y und der Term t+1 für x: Dann ist x2 + y2  =  .
  3. Den Term z+1 für x und der Term z-1 für y: Dann ist x2 + y2  =  .
Der griechische Buchstabe α kann als alpha eingetippt werden.

Aufgabe 1.1.16
In dieser Figur habe ein Kästchen auf dem Papier die Seitenlänge x. Welchen Flächeninhalt (als Term in der Variablen x) besitzt die Figur?

Eine Figur auf kariertem Papier.

Antwort:
  • Der große Kreis hat insgesamt den Flächeninhalt ,
  • je ein kleiner Kreis hat den Flächeninhalt ,
  • die Figur insgesamt hat den Flächeninhalt .
Die Kreiszahl π kann als pi eingegeben werden.



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