1.2.3 Aufgaben

Aufgabe 1.2.618

Kürzen Sie die folgenden Brüche soweit wie möglich:

$\frac{216}{240}$ $=$
.
Wegen $\gcd (216,240) = 24$ ist $\frac{216}{240} = \frac{216 : 24}{240 : 24} = \frac{9}{10}$ .
$\frac{36}{72}$ $=$
.
$36$ teilt $72$ , also ist $\frac{36}{72} = \frac{1}{2} .$
$\frac{48}{144}$ $=$
.
$48$ teilt $144$ , also ist $\frac{48}{144} = \frac{1}{3} .$
$\frac{- a + 2 b}{- 4 b + 2 a}$ $=$
falls $a$ nicht gleich
ist.
Kürzen ergibt $\frac{- a + 2 b}{- 4 b + 2 a} = \frac{(- 1) \cdot (- 2 b + a)}{2 \cdot (- 2 b + a)} = - \frac{1}{2}$ . Der Bruch an sich ist nur für $a \neq 2 b$ definiert, da sonst der Nenner gleich Null wird.

Geben Sie die Brüche in der Form Zähler/Nenner maximal gekürzt und mit positivem Nenner ein. Ziehen Sie Vorzeichen stets vor die Brüche und verwenden Sie keine Klammern.

Aufgabe 1.2.619

Berechnen bzw. vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich:

$\frac{1}{2} - \frac{2}{7} + \frac{3}{8} + \frac{3}{4}$ $=$
.
Summieren über den Hauptnenner ergibt $\frac{1}{2} - \frac{2}{7} + \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{28}{56} - \frac{16}{56} + \frac{21}{56} + \frac{42}{56} = \frac{75}{56}$ da $\gcd (2,7, 8,4) = 56$ ist.
$\frac{3}{13} : \frac{7}{26}$ $=$
.
Die Division durch einen Bruch ist das Gleiche wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert: $\frac{3}{13} : \frac{7}{26} = \frac{3}{13} \cdot \frac{26}{7} = \frac{3 \cdot 26}{13 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7}$ .
$(1. \overline{4} \cdot 3 - \frac{1}{2}) \cdot \frac{6}{7}$ $=$
.
Umwandeln des Dezimalausdrucks in einen Bruch ergibt $(1. \overline{4} \cdot 3 - \frac{1}{2}) \cdot \frac{6}{7} = (1. \overline{4} \cdot 18 - 3) \cdot \frac{1}{7} = (26 - 3) \cdot \frac{1}{7} = \frac{23}{7}$ .

Geben Sie die Brüche maximal gekürzt und mit positivem Nenner ein.

Aufgabe 1.2.620

Wandeln Sie die folgenden unendlichen periodischen Dezimalbrüche in Brüche um und kürzen Sie soweit wie möglich:

$0. \overline{4}$ $=$ .
$0. \overline{23}$ $=$ .
$0.12 \overline{34}$ $=$ .
$0. \overline{9}$ $=$ .

Geben Sie die Brüche maximal gekürzt und mit positivem Nenner ein.

Mithilfe des Umformungstricks für unendliche Dezimalbrüche erhält man diese Lösungen:

$x = 0. \overline{4}$ , also $10 x - x = 4 \Rightarrow 9 x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{9}$ ,
$x = 0. \overline{23}$ , also $100 x - x = 23 \Rightarrow 99 x = 23 \Rightarrow x = \frac{23}{99}$ ,
$x = 0.12 \overline{34}$ , also $100 x - x = 12.22 \Rightarrow 99 x = \frac{1222}{100} \Rightarrow x = \frac{1222}{9900} = \frac{611}{4950}$ ,
$x = 0. \overline{9}$ , also $10 x - x = 9 \Rightarrow 9 x = 9 \Rightarrow x = 1$ .

Beim letzten Aufgabenteil ist zu beachten, dass

1 = 1.000 \dots

und

1 = 0.999 \dots = 0. \overline{9}

zwei verschiedene Dezimalbruchdarstellungen für die gleiche Zahl sind.

Unendlich

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Kapitel 1 Elementares Rechnen