Kapitel 1 Elementares Rechnen

Abschnitt 1.4 Potenzen und Wurzeln

1.4.1 Potenzrechnung und Wurzeln


Der folgende Abschnitt beschäftigt sich mit Ausdrücken der Form as . Hierbei sei a∈ℝ. Aber für welche Zahlen s kann die Potenz sinnvoll definiert werden?
Potenzen mit natürlichem Exponenten werden folgendermaßen definiert:
Info 1.4.1
 
Sei n∈ℕ. Die n-te Potenz einer Zahl a∈ℝ ist das n-fache Produkt der Zahl a mit sich selbst:

an = a·a·a·…·a .     (n  Faktoren )

a wird als Basis und n als Exponent bezeichnet.

Dabei gibt es einige besondere Fälle, die man am besten auswendig können sollte:
Info 1.4.2
 
Ist der Exponent Null, so ist der Wert der Potenz gleich Eins, also beispielsweise 40 =1 aber auch 00 =1. Ist dagegen die Basis Null und der Exponent n>0, so ist 0n =0. Ist die Basis -1, so ist

(-1 )n   =  -1   falls Exponent ungerade     ,    (-1 )n   =  1   falls Exponent gerade  .


Beispiel 1.4.3


32 =3·3=9 ,  (-2 )3 =(-2)·(-2)·(-2)=-8 ,   ( 1 2 )4 = 1 2 · 1 2 · 1 2 · 1 2 = 1 16  .

Viele Potenzen können mit obiger Rechenregel berechnet werden - aber wie sieht es mit 2-2 aus?
Info 1.4.4
 
Potenzen mit negativen natürlichen Exponenten werden definiert durch die Formel a-n = 1 an ,n∈ℕ,a≠0.
Folglich berechnet sich 2-2 = 1 22 = 1 4 . Analog ergibt sich (-2 )-2 = 1 (-2 )2 = 1 4 .
Aufgabe 1.4.5
Welche Zahlenwerte haben diese Potenzen?
  1. 53  =  .

  2. (-1 )1001  =  .

  3. (- 1 2 )-3  =  .

  4. ((-3 )2 )3  =  .


Aber schon bei einem rationalen Exponenten der Form 1 n ,n∈ℕ, muss die Definition wieder erweitert werden, um zum Beispiel 4 1 2 berechnen zu können. Diese Potenz lässt sich auch in Wurzelschreibweise umwandeln und man erhält 4 1 2 =4=2. Allgemein gilt:
Info 1.4.6
 
Sei n∈ℕ und a∈ℝ mit a≥0. Die n-te Wurzel besitzt die Potenzschreibweise an= a 1 n .
Dies führt auf eine Umkehrung der Potenzrechnung, das Wurzelziehen.
Info 1.4.7
 
Die n-te Wurzel einer Zahl a∈ℝ,a≥0, ist diejenige Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist:

a 1 n =an=b⇒ bn =a .

a wird als Wurzelbasis oder Radikand und n als Wurzelexponent bezeichnet.
Es gilt a1=a und es heißen a2=a die Quadratwurzel und a3 die Kubikwurzel von a.

Beispiel 1.4.8


16 1 2 =162=16=4 ,   27 1 3 =273=3 .


Info 1.4.9
 
Für n∈ℕ,a,b∈ℝ mit a,b≥0 gelten die folgenden Wurzelrechenregeln:
  1. Zwei Wurzeln mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden gezogen wird, der Wurzelexponent bleibt unverändert:

    an·bn=a·bn .


  2. Zwei Wurzeln mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden gezogen wird, der Wurzelexponent bleibt unverändert:

    an bn = a b n,b≠0 .


Aber wie kann die Zahl (410)5 berechnet werden?
Info 1.4.10
 
Seien m,n∈ℕ und a∈ℝ,a≥0.
  1. Die m-te Potenz einer Wurzel bildet man, indem die m-te Potenz des Radikanden gebildet wird, der Wurzelexponent bleibt unverändert:

    (an)m = am n= a m n  .


  2. Die m-te Wurzel aus einer Wurzel bildet man, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden und die Basis gleich bleibt (Radizieren einer Wurzel).

    anm=am·n .


Somit erhält man

45 10=( 45 ) 1 10 = 4 5 10 = 4 1 2 =42=2 .


Beispiel 1.4.11
Die Berechnung einer allgemeinen Potenz mit rationalem Exponenten sieht dann folgendermaßen aus:

( 1 4 )- 2 3 = ( 1 4 )-2 3= 1 ( 1 4 )2 3= 1 1 16 3=163= 23 ·23=223 .


Die für Potenzen mit reeller Basis und rationalem Exponenten gültigen Rechenregeln werden unter der Bezeichnung Potenzgesetze zusammengefasst. Die Regeln differieren in Abhängigkeit von der Betrachtung von Potenzen mit derselben Basis bzw. demselben Exponenten.
Aufgabe 1.4.12
Berechnen Sie die folgenden Wurzeln (es kommen hier stets ganze Zahlen heraus):
  1. (35)5  =  .

  2. 2564  =  .



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