3.1.3 Spezielle Umformungen

Bei der ersten Ungleichung ist $x=0$ nicht in der Definitionsmenge, dieser Wert wird daher ausgeschlossen. Ist $x>0$, so ist das Bilden der Kehrwerte und Umdrehen der Ungleichung erlaubt und ergibt $x\le 3$. Zusammen mit der Vorbedingung erhält man das Lösungsintervall $L=]0;3]=(0;3]$. Für die $x<0$ darf man die Kehrwertregel nicht anwenden. Man sieht hier aber auch ohne Regel, dass kein $x<0$ eine Lösung sein kann, da dann auch $\frac{1}{x}$ negativ und nicht größer oder gleich $\frac{1}{3}$ ist.  
Die Definitionsmenge der zweiten Ungleichung ist $]0;\infty [$, da nur für diese $x$ sowohl die Wurzel wie auch die Nenner zulässig sind. Das Bilden der Kehrwerte und Umdrehen der Ungleichung ist auf der Definitionsmenge erlaubt und ergibt $x>\sqrt{x}$. Da $\sqrt{x}>0$ ist, darf man die gesamte Ungleichung durch $\sqrt{x}$ teilen und erhält $\sqrt{x}>1$. Diese Ungleichung besitzt die Lösungsmenge $L=]1;\infty [=(1;\infty )$, die auch in der Definitionsmenge enthalten ist.