Kapitel 3 Ungleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 3.3 Betragsungleichungen und quadratische Ungleichungen

3.3.2 Quadratische Ungleichungen

Info 3.3.4
 
Eine Ungleichung heißt quadratisch in x, falls sie sich zu x2 +px+q<0 (oder mit anderen Vergleichssymbolen) umformen lässt.
 
Quadratische Ungleichungen kann man daher auf zwei Weisen lösen: durch Untersuchung von Nullstellen und Öffnungsverhalten des Polynoms sowie durch quadratische Ergänzung. Die quadratische Ergänzung ist meist einfacher:
Info 3.3.5
 
Bei der quadratischen Ergänzung wird versucht, die Ungleichung auf die Form (x+a )2 <b zu bringen. Ziehen der Wurzel führt dann auf die Betragsungleichung |x+a|<b mit der Lösungsmenge ]-a-b;-a+b[ falls b≥0 ist, ansonsten ist die Ungleichung unlösbar.  
Bei umgekehrter Richtung der Ungleichung besitzt |x+a|>b die Lösungsmenge ]-∞;-a-b[ ∪ ]-a+b;∞[ . Für ≤ und ≥ sind die Randpunkte entsprechend mit aufzunehmen.

Dabei ist die Rechenregel x2 =|x| aus Modul 1 zu beachten.
Beispiel 3.3.6
Zu lösen sei die Ungleichung 2 x2 ≥4x+2. Sortieren der Terme auf die linke Seite und Division durch 2 ergibt x2 -2x-1≥0. Quadratische Ergänzung zur zweiten binomischen Formel auf der linken Seite ergibt die äquivalente Ungleichung x2 -2x+1≥2, bzw. (x-1 )2 ≥2. Ziehen der Wurzel ergibt die Betragsungleichung |x-1|≥2 mit Lösungsmenge L= ]-∞;1-2]∪[1+2;∞[ .

Andererseits kann man die Ungleichung x2 -2x-1≥0 auch wie folgt untersuchen: Die linke Seite beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen von x2 ), deren Nullstellen x1,2 =1±2 man mit der pq-Formel erhält:
Die Ungleichung x2 -2x-1≥0 wird wegen der Öffnung nach oben von den Parabelästen links und rechts von den Nullstellen erfüllt (vergleiche die Ungleichung mit y≥0), also von der Menge L= ]-∞;1-2]∪[1+2;∞[ .
Info 3.3.7
 
Die quadratische Ungleichung x2 +px+q<0 (auch andere Vergleichssymbole möglich) besitzt in Abhängigkeit der Nullstellen von x2 +px+q, der Öffnung der Parabel, sowie des Vergleichssymbol der Ungleichung eine der folgenden Lösungsmengen:
  • die reellen Zahlen ℝ,
  • zwei Intervalle ]-∞; x1 [ ∪ ] x2 ;∞[ (bei ≤ und ≥ sind die Randpunkte jeweils mit im Intervall enthalten),
  • ein Intervall ] x1 ; x2 [ (bei ≤ und ≥ sind die Randpunkte jeweils mit im Intervall enthalten),
  • einen Einzelpunkt x1 ,
  • die punktierte Menge ℝ∖{ x1 },
  • die leere Lösungsmenge {}.

Der folgende Lückentext beschreibt die Lösung einer quadratischen Ungleichung über die Untersuchung der Parabel:
Aufgabe 3.3.8
Zu lösen sei x2 +6x<-5. Umformen ergibt die Ungleichung
<0. Mit der pq-Formel findet man die Nullstellenmenge
. Die linke Seite beschreibt eine nach
geöffnete Parabel, sie gehört zu einer Ungleichung mit dem Vergleichssymbol <, also ist die Lösungsmenge L  = 
.  


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