Abschnitt 3.3 Betragsungleichungen und quadratische Ungleichungen

3.3.1 Einführung

Analog zum Vorgehen in Modul 2 und dem vorangehenden Abschnitt löst man Beträge in Ungleichungen durch eine Fallunterscheidung auf:

Eine Ungleichung mit einem Betragsausdruck wird in zwei Fälle unterteilt:

Für diejenigen $x$ , für die der Term im Betrag nicht negativ ist, kann der Betrag weggelassen bzw. durch einfache Klammern ersetzt werden.
Für diejenigen $x$ , für die der Term im Betrag negativ ist, wird der Term in Klammern gesetzt und negiert.

Die Lösungsmengen aus den Fällen werden wie im vorangehenden Modul eingeschränkt und zur Lösungsmenge für die ursprüngliche Ungleichung vereinigt.

Die Betragsungleichung

| 4 x - 2 | < 1

teilt man in zwei Fälle auf:

Für $x \geq \frac{1}{2}$ ist der Term im Betrag nicht negativ: In diesem Fall ist die Ungleichung äquivalent zu $(4 x - 2) < 1$ bzw. zu $x < \frac{3}{4}$ . Wegen der Bedingung ist nur $L_{1} = [\frac{1}{2}; \frac{3}{4} [$ Lösungsmenge für diesen Fall.
Für $x < \frac{1}{2}$ ist der Term im Betrag negativ: In diesem Fall ist die Ungleichung äquivalent zu $- (4 x - 2) < 1$ bzw. zu $x > \frac{1}{4}$ . Nur die Teilmenge $L_{2} =] \frac{1}{4}; \frac{1}{2} [$ erfüllt die Bedingung und ist Lösung.

Vereinigen der beiden Lösungsintervalle ergibt die Lösungsmenge

L =] \frac{1}{4}; \frac{3}{4} [

für die ursprüngliche Betragsungleichung:

Die Betragsungleichung

| x - 1 | < 2 | x - 1 | + x

teilt man in zwei Fälle auf:

Auf dem Intervall
sind beide Terme in den Beträgen nicht negativ. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist in diesem Fall $L_{1}$ $=$ .
Auf dem Intervall
sind beide Terme in den Beträgen negativ. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist in diesem Fall $L_{2}$ $=$ .

Zusammensetzen der beiden Intervalle ergibt das Lösungsintervall

L

=

Für

x \in [1; \infty [= [1; \infty)

sind beide Terme in den Beträgen nicht negativ, man erhält die Ungleichung

x - 1 < 2 (x - 1) + x

, welche äquivalent zu

x > \frac{1}{2}

ist. Wegen der Fallbedingung erhält man

L_{1} = [1; \infty [= [1; \infty)

als Lösungsmenge.
Für

x \in] - \infty; 1 [= (- \infty; 1)

sind beide Terme in den Beträgen negativ und man erhält

- (x - 1) < - 2 (x - 1) + x

. Diese Ungleichung ist äquivalent zur immer richtigen Ungleichung

x - 1 < x

. Damit ist unter der Beachtung der Fallbedingung

L_{2} =] - \infty; 1 [

die Lösungsmenge des zweiten Falls.
Wegen

L = L_{1} \cup L_{2} = ℝ =] - \infty; \infty [

ist die Ungleichung immer erfüllt.