Kapitel 3 Ungleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 3.2 Umformen von Ungleichungen

3.2.1 Umformungen mit Fallunterscheidungen

Die einfachen linearen Umformungen aus dem vorangehenden Abschnitt sind Äquivalenzumformungen. Sie verändern die Lösungsmenge der betrachteten Ungleichung nicht. Ist die Ungleichung jedoch nicht linear, so werden weitergehende Techniken zum Auflösen benötigt. Diese benötigen meist eine Fallunterscheidung in Abhängigkeit eines Vorzeichens, da sich im Gegensatz zu den Gleichungen aus Modul 2 nun auch die Richtung der Ungleichung beim Umformen ändern kann.
Info 3.2.1
 
Multipliziert man eine Ungleichung mit einem Term, der eine Unbekannte x enthält, so ist eine Fallunterscheidung zu führen und die Umformung für jeden Fall separat zu betrachten:
  • Für diejenigen x, für die der multiplizierte Term positiv ist, bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten.
  • Für diejenigen x, für die der multiplizierte Term negativ ist, wird das Vergleichssymbol umgedreht.
  • Der Fall, dass der multiplizierte Term den Wert Null annimmt, muss bei der Umformung ausgeschlossen und ggf. separat betrachtet werden.
 
Die in den einzelnen Fällen gefundenen Lösungsmengen müssen wie bei der Auflösung von Betragsgleichungen auf Verträglichkeit mit der Fallbedingung untersucht werden.

Die Addition von Termen, welche die Unbkannte enthalten, erfordert dagegen keine Fallunterscheidung. Umformungen mit Fallunterscheidungen sind meist notwendig, wenn die Unbekannte im Nenner oder in zusammengesetzten Termen auftritt:
Beispiel 3.2.2
Die Ungleichung 1 2x ≤1 kann vereinfacht werden, indem beide Seiten der Ungleichung mit dem Term 2x multipliziert werden:
  • Unter der Bedingung x>0 erhält man die neue Ungleichung 1≤2x. Sie hat die Lösungsmenge L1 =[ 1 2 ;∞[ . Die Bedingung x>0 ist für alle Elemente der Lösungsmenge erfüllt.
  • Unter der Bedingung x<0 erhält man die neue Ungleichung 1≥2x. Sie hat die Lösungsmenge ]-∞; 1 2 ]. Wegen der zusätzlichen Bedingung x<0 sind in diesem Fall aber nur die Elemente von L2 = ]-∞;0[ Lösungen.
  • Der Einzelfall x=0 ist keine Lösung, da er nicht zu der Definitionsmenge der Ungleichung gehört. In diesem Fall darf die Multiplikation mit x nicht durchgeführt werden.
Insgesamt erhält man also die Vereinigungsmenge L=L1 ∪L2 =ℝ∖[0; 1 2 [ als Lösungsmenge:  

Dabei gilt wie im Modul 2 für die Bildung der Lösungsmenge:
Info 3.2.3
 
Die Fälle müssen so eingeteilt werden, dass alle Elemente der Definitionsmenge der Ungleichung abgedeckt sind. Bei der Bildung der Lösungsmengen der einzelnen Fälle ist in jedem Fall zu berücksichtigen, dass die Lösungsmenge auch der entsprechenden Fallbedingung genügt. Für jeden Fall ist die erhaltene Lösungsmenge auf die Teilmenge zu reduzieren, die der Fallbedingung genügt. Die Vereinigung dieser Lösungsmengen der einzelnen Fälle bildet die Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung.


: