Kapitel 3 Ungleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 3.3 Betragsungleichungen und quadratische Ungleichungen

3.3.3 Weitere Ungleichungstypen

Viele weitere Typen von Ungleichungen lassen sich in quadratische Ungleichungen umformen, dabei sind jedoch manchmal Fallunterscheidungen sowie ausgeschlossene Werte in der Definitionsmenge zu beachten:
Info 3.3.9
 
Eine Ungleichung mit Brüchen, bei der x im Nenner zusammengesetzter Ausdrücke vorkommt, kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner in eine bruchfreie Form gebracht werden. Dabei müssen die Nullstellen der Nenner aber aus der Definitionsmenge der neuen Ungleichung ausgeschlossen werden.  
Zudem entstehen bei der Multiplikation mit Termen Fallunterscheidungen in Abhängigkeit von ihrem Vorzeichen.

Beispiel 3.3.10
Die Ungleichung 2- 1 x ≤x kann man durch Multiplikation mit x umformen, dabei sind drei Fälle zu unterscheiden:
  • Fall x>0, dann bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten. Die neue Ungleichung lautet 2x-1≤ x2 und ist äquivalent zu x2 -2x+1≥0 bzw. (x-1 )2 ≥0. Diese Ungleichung ist immer erfüllt. Wegen der Fallbedingung erhält man die Lösungsmenge L1 = ]0;∞[ .
  • Fall x<0, dann kehrt sich die Richtung der Ungleichung um. Die neue Ungleichung lautet 2x-1≥ x2 und ist äquivalent zu x2 -2x+1≤0 bzw. (x-1 )2 ≤0. Diese Ungleichung ist nur für x=1 erfüllt. Dieser Wert wird jedoch durch die Fallbedingung ausgeschlossen, d.h. L2 ={}.
  • Der Einzelwert x=0 ist nicht Teil der Definitionsmenge der ursprünglichen Ungleichung und damit keine Lösung.
Insgesamt erhält man die Vereinigungsmenge L= ]0;∞[ als Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung.

Über gemischte Bruch- und Wurzelterme definierte Ungleichungen haben oft Lösungsmengen, die nicht mehr die Formen aus Info 3.3.7 besitzen:
Beispiel 3.3.11
Zu lösen sei die Ungleichung x+ 1 x >2. Die Definitionsmenge der Ungleichung ist ]0;∞[ . Multiplikation mit x ergibt die Ungleichung x+1>2x. Hier ist keine Fallunterscheidung notwendig, da x>0 auf der Definitionsmenge ist. Umformen ergibt x-2x+1>0 bzw. (x-1 )2 >0, was für alle x≠1 aus der Definitionsmenge erfüllt ist. Also ist die Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung L= ]0;∞[ ∖{1}:  



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