Kapitel 5 Geometrie

Abschnitt 5.1 Grundbegriffe der ebenen Geometrie

5.1.2 Punkte und Geraden

0 Ein Standpunkt oder eine Position in einer Ebene wird in der Geometrie zum einfachsten Objekt, einem Punkt, idealisiert. Ein Punkt wird mit einem großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, außer seiner Position besitzt der Punkte keine weitere Eigenschaften.
Betrachtet man mehrere Punkte, kann man auf verschiedene Weise Beziehungen zwischen den Punkten betrachten - und man kann neue Objekte, wie zum Beispiel Strecken und Geraden beschreiben (siehe die folgende Abbildung). Mathematisch gesprochen, sind es Mengen von Punkten.

Als Erstes wird eine Strecke und der Abstand zwischen Punkten betrachtet. Dazu bedarf es noch eines Vergleichsmaßstabs, um den Abstand messen zu können. In der Mathematik wird dazu eine Vergleichsstecke ausgewählt, deren Länge als Einheitslänge bezeichnet wird. Für Anwendungen wird man entsprechend der Aufgabe passende Einheiten wie zum Beispiel Meter oder Zentimeter als Längeneinheit festlegen.

Das Bild von einem Lichtstrahl, ausgesandt von einem fernen Stern oder von der Sonne, ist eine passende Vorstellung für einen Strahl, der in einem Punkt $A$ beginnt und in Richtung eines zweiten Punktes $B$ gedanklich immer weiter und darüber hinaus geht. Ein Strahl wird auch Halbgerade genannt.

Wenn man den Weg auf einer Strecke $\overline{AB}$ über beide Punkte hinaus verlängert, spricht man von einer Geraden.
Wenn man zu zwei Punkten $A$ und $B$ einen weiteren Punkt $P$ betrachtet, kann man nach dem Abstand $d$ von $P$ zur Geraden $AB$ fragen. Dies ist die kleinste Entfernung zwischen $P$ und den Punkten der Geraden $AB$.

Wenn drei Punkte $P$, $Q$ und $S$ in der Ebene betrachtet werden, sind damit Geraden $SP$ und $SQ$ festgelegt.
Sie haben den Punkt $S$ gemeinsam. Liegt auch der Punkt $Q$ auf der Geraden $SP$, dann bezeichnen $SQ$ und $SP$ dieselbe Gerade. Wenn $Q$ nicht zur Geraden $SP$ gehört, sind $SQ$ und $SP$ verschiedene Geraden. Die beiden Geraden haben nur den Punkt $S$, den Schnittpunkt, gemeinsam.
Für irgendwelche Geraden $g$ und $h$ gibt es noch den Fall, dass sie keinen Punkt gemeinsam haben. Der kleinste Abstand von Punkten auf $g$ beziehungsweise $h$ ist der Abstand zwischen den Geraden $g$ und $h$. Somit haben $g$ und $h$ keinen gemeinsamen Punkt, wenn ihr Abstand größer als $0$ ist. Geraden heißen parallel, wenn jeder Punkt auf einer der Geraden denselben Abstand zur anderen Geraden hat.
Auch eine einzelne Gerade kann über den Abstand von zwei Punkten $M$ und $M\text{'}$ beschrieben werden: Die Menge aller Punkte, die von zwei Punkten $M$ und $M\text{'}$ gleich weit entfernt sind, ist eine Gerade.
Dies ist ein typische Vorgehensweise in der Geometrie: Mit Hilfe von Eigenschaften, wie einem Abstand, neue Objekte zu definieren. Auf diese Weise kann auch ein Kreis ganz einfach beschrieben werden.