Kapitel 5 Geometrie

Abschnitt 5.6 Winkelfunktionen: Sinus und Co.

5.6.2 Trigonometrie am Dreieck

Fährt man eine Straße mit einem Gefälle von fünf Prozent bergab, nimmt die Höhe alle hundert Meter um fünf Meter ab. Dabei wird der Höhenunterschied im Vergleich zur Horizontalen betrachtet.

Demnach beträgt das Gefälle $100\%$, wenn der Höhenunterschied $100\hspace{0.17em}\mathrm{m}$ zwischen zwei Positionen beträgt, deren horizontaler Abstand $100\hspace{0.17em}\mathrm{m}$ beträgt. Geometrisch formuliert, ist die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Punkte eine Diagonale eines Quadrats. Damit hat der Winkel zwischen der horizontalen Vergleichsstrecke und der Diagonalen, auf der man sich bewegt, das Winkelmaß von $45{}^{\circ }$.

Dies kann man auch so formulieren: Einem Winkel von $45{}^{\circ }$ entspricht eine Steigung von $\frac{100\hspace{0.17em}\mathrm{m}}{100\hspace{0.17em}\mathrm{m}}=1$, das heißt ein Streckenverhältnis von $1$ von vertikaler zu horizontaler Strecke. Aufgrund der Strahlensätze ist das Streckenverhältnis von den Längen der einzelnen Strecken unabhängig. Es hängt nur davon ab, wie die Strahlen zueinander verlaufen, also wie groß der Winkel zwischen ihnen ist. Wenn diese Zuordnung zwischen Winkel und Streckenverhältnis auch für andere Winkel bekannt ist, kann man damit viele konstruktive Aufgabenstellungen lösen. Beispielsweise kann die Höhe zu einem gegebenen Winkel bestimmt werden.
Schon die Frage, welches Verhältnis zu einem Winkel von $30{}^{\circ }$ gehört, zeigt allerdings, dass die Bestimmung der Zuordung zwischen Winkel und Streckenverhältnis im Allgemeinen jedoch nicht so einfach ist. Deshalb wurden die aufwändig bestimmten Werte anfangs in großen Tafelwerken aufgeschrieben, um dann einfach nachgeschlagen werden zu können. Inzwischen sind die Werte mittels Taschenrechner und Computer praktisch überall verfügbar. Die gebräuchlichsten Zuordnungen von Winkel zu einem Streckenverhältnis werden im Folgenden vorgestellt. Sie werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt, und das mathematische Gebiet, das sich mit ihren Eigenschaften befasst, heißt Trigonometrie.

Demnach beschreibt der Tangens die Zuordnung zwischen dem Neigungswinkel und dem Verhältnis zwischen Höhe und Breite, also der Steigung. Dies ist auch im Kapitel 8 im Kontext der geometrischen Interpretation der Ableitung von Bedeutung.
Der Tangens des Winkels $\alpha$ ist nach der Definition

${\displaystyle \tan \left(\alpha \right)=\frac{a}{b}=\frac{a}{b}·\frac{c}{c}=\frac{a}{c}·\frac{c}{b}=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}\hspace{0.5em}.}$
Somit genügt es, die Werte von Sinus und Kosinus zu kennen, um auch den Tangens berechnen zu können.


Wenn man sich die Ergebnisse aus der letzten Aufgabe nochmals genauer ansieht, kann man auf verschiedene Ideen kommen, sie zu interpretieren, und dann einige Zusammenhänge erkennen.

• Mit zunehmendem Winkel $\alpha$ nimmt die Gegenkathete $a$ zu und die Ankathete $b$ ab.
  Ebenso verhalten sich $\sin \left(\alpha \right)$ zu $a$ und $\cos \left(\alpha \right)$ zu $b$.
  
• Mit zunehmendem Winkel $\alpha$ nimmt $a$ in dem gleichen Maß zu wie $b$ mit dem von $90{}^{\circ }$ aus fallenden Winkel $\alpha$ abnimmt. Im Thaleskreis sind die beiden Dreiecke mit den entgegengesetzten Werten für $a$ und $b$ die zwei Lösungen für die Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenuse und gegebener Höhe (siehe auch das Beispiel 5.3.7).
  
• Für den Winkel $\beta =90{}^{\circ }-\alpha$ ist die Ankathete die Seite im rechtwinkligen Dreieck, die aus Sicht des Winkels $\alpha$ als Gegenkathete bezeichnet wird (und umgekehrt). Somit gilt
  
  ${\displaystyle \sin \left(\alpha \right)=\cos (90{}^{\circ }-\alpha )=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )}$
  und
  
  ${\displaystyle \cos \left(\alpha \right)=\sin (90{}^{\circ }-\alpha )=\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )\hspace{0.5em}.}$
  
  
• Bei $\alpha =45{}^{\circ }$ sind die Katheten und damit auch Sinus und Kosinus von $\alpha$ gleich. Diese Beobachtung führte eingangs umgekehrt zur Bestimmung des Steigungswinkels.
  
• Der Tangens, also das Verhältnis von $a$ zu $b$, steigt mit zunehmendem Winkel $\alpha$ von Null ins „Unendliche“.
  

Im folgenden Beispiel wird die Überlegung aus der Einleitung fortgesetzt, die auf ein Dreieck mit einem Winkel von $45{}^{\circ }$ führte, um den zugehörigen Sinuswert exakt zu berechnen.

Im nächsten Beispiel wird der Sinuswert zum Winkel $\alpha =60{}^{\circ }$ berechnet. Hierfür wird zunächst nicht ein rechtwinkliges Dreieck sondern ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten betrachtet. Mit einer geschickten Zerlegung und Berechnung einer weiteren „Hilfsgröße“ erhält man daraus das gesuchte Ergebnis.


In einer kleinen Tabelle werden die gefundenen Werte für oft verwendete Winkel zusammengestellt: Hier wird in der mit $x$ bezeichneten ersten Zeile der Winkel im Bogenmaß und in der mit $\alpha$ bezeichneten letzten Zeile der Winkel im Gradmaß notiert.
\[ \begin{array}[t]{l|*{5}{c}} x & 0 & \tfrac{\pi}{6} & \tfrac{\pi}{4} & \tfrac{\pi}{3} & \tfrac{\pi}{2} \\[1mm] \hline \sin & 0 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0} & \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} = 1 \\[1mm] \cos & 1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} = \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0} = 0 \\[1mm] \tan & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & - \\[1mm] \hline \alpha & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} % \end{array} \]
Diese Werte sollte man sich merken. Die Werte der trigonometrischen Funktionen für andere Winkel sind in Tabellen abgelegt bzw. mit dem Taschenrechner berechenbar.
Damit kann man dann aus einem Winkel und einem Abstand ganz einfach eine Höhe berechnen. Ist nämlich $s$ der Abstand zu einem Gebäude mit Flachdach, das unter einem Winkel $x$ beobachtet wird, ergibt sich aus $\tan (x)=\frac{h}{s}$ nämlich $h=s·\tan (x)$. Ebenso können auch $\cos$ und $\sin$ verwendet werden, um Längen zu berechnen. Dieser Zusammenhang zwischen Winkeln und Längen wird oft verwendet.
Beispielsweise kann man so einen Flächeninhalt berechnen, auch wenn eine benötigte Länge nicht unmittelbar gegeben ist. Im folgenden Beispiel ist es eine Höhe $h$ in einem Dreieck, die zu berechnen ist. Da $h$, ausgehend von einer Ecke, hier $C$ genannt, senkrecht auf der Geraden der gegenüberliegenden Seite $c=\overline{AB}$ steht, bilden die Ecken von $h$ und $A$ bzw. $B$ ein rechtwinkliges Dreieck. Mit einer Angabe zu einem Winkel und der entsprechenden Seite kann dann die Höhe aus $\sin (\alpha )=\frac{h}{b}$ oder aus $\sin (\beta )=\frac{h}{a}$ berechnet werden, wobei von den konventionellen Bezeichnungen ausgegangen wurde.