Kapitel 5 Geometrie

Abschnitt 5.2 Winkel und Winkelmessung

5.2.3 Winkelmessung

Die Erklärung zur Bezeichnung des Winkel $\measuredangle (g,h)$, der durch Drehung von $g$ gegen den Uhrzeigersinn zu $h$ festgelegt wird, führt zu einer Idee, Winkel zu messen, das heißt quantitativ miteinander zu vergleichen.
So wie auf einem runden Ziffernblatt einer analogen Uhr die Markierungen zu den zwölf Zahlen für die Stunden im gleichen Abstand voneinander angebracht sind, kann man einen Kreis gleichmäßig einteilen. Auf diese Weise erhält man eine Skala für Winkel. Je nach der verwendeten Skalierung ergeben sich verschiedene Zahlen, mit denen die Größe eines Winkels angegeben werden kann.
Gradmaß  
Es wird eine Kreisscheibe in $360$ gleiche Segmente eingeteilt. Eine Drehung um ein Segment beschreibt einen Winkel von $1$ Grad. Hierfür wird $1{}^{\circ }$ geschrieben. In der folgenden Zeichnung sind Winkel mit einem Gradmaß von $30{}^{\circ }$ und Vielfachen davon dargestellt.

Bogenmaß  
Bereits im antiken Babylonien, Ägypten und Griechenland stellte man fest, dass das Verhältnis des Umfangs $U$ eines Kreises zu seinem Durchmesser $D$ stets das gleiche ist, und somit Umfang und Durchmesser zueinander proportional sind. Dieses Verhältnis wird die Kreiszahl $\pi$ genannt.
Wenn der Radius $r$ des Kreises genau $1$ ist, so hat der Kreis den Umfang $2\pi$. Beim Bogenmaß wird die Linie des Umfang eines Kreises vom Radius $r=1$ eingeteilt. Als Bogenmaß eines Winkels $\measuredangle (g,h)$ wird die Länge des Kreisbogens verwendet, die durch den Winkel „ausgeschnitten“ wird.
Damit wird Winkeln durch das Bogenmaß eine Zahl zwischen $0$ und $2\pi$ zugeordnet. In der Technik wird auch die Kennzeichnung rad (für Radiant) verwendet, um explizit auszudrücken, dass ein Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

Mit einem Winkelmaß wie dem Bogenmaß oder dem zuvor eingeführten Gradmaß kann man Winkel einfach in verschiedene Klassen einteilen und dafür eigene Namen vergeben. Zur Wiederholung werden auch bereits eingeführte Bezeichnungen nochmals mit aufgeführt.
Wenn man das Bogenmaß des Winkels $\measuredangle (g,h)$ kennt, kann man auch das Bogemaß des Winkels $\measuredangle (h,g)$ bestimmen. Aus der obigen Definition 5.2.7 ergibt sich, dass

${\displaystyle \measuredangle (h,g)=2\pi -\measuredangle (g,h)}$
gilt. In der Zeichnung zur Definition 5.2.7 ist das Bogenmaß des Winkels $\measuredangle (h,g)$ die Länge des rot dargestellten Kreisbogens des Kreises mit dem Radius $r=1$.
Die Formulierungen der letzten Sätze klingen möglicherweise umständlich. Dies liegt vermutlich auch daran, dass genau zwischen Winkel und einem Maß, hier dem Bogenmaß, für den Winkel unterschieden wird.
Wenn es darum geht, einen gesuchten Wert zu berechnen, wird bei Strecken oft dieselbe Bezeichnung für die Strecke und ihre Länge verwendet. Dies ist meistens verständlich und hilft, einen Sachverhalt einfach zu beschreiben oder in einer Zeichnung darzustellen. Wichtig ist dabei, dass die verwendete Einheit bekannt ist oder explizit angegeben wird. Eine solche Vereinbarung, auch Konvention genannt, wird im Zusammenhang mit Winkeln ebenfalls oft verwendet, wenn aus dem Zusammenhang verständlich wird, dass es um die Berechnung eines Wertes in einem bestimmten Winkelmaß geht.
In diesem Sinne kann dann beispielsweise $\measuredangle (g,h)=90{}^{\circ }$ geschrieben und vom rechten Winkel $\measuredangle (g,h)$ gesprochen werden, der von Geraden $g$ und $h$ eingeschlossen wird. Dies gilt entsprechend, wenn das Bogenmaß verwendet wird.
Ein Wert eines Winkels im Gradmaß kann in das Bogenmaß umgerechnet werden (und umgekehrt), indem man die Verhältnisse der Maßzahlen eines Winkels zum Wert des Vollwinkels im jeweiligen Winkelmaß betrachtet. Die Umrechnung zwischen Bogenmaß und Gradmaß wird im Folgenden beschrieben.
Deshalb sind die Angaben im Bogenmaß und im Gradmaß zueinander proportional, sodass die Umrechnung mit dem jeweiligen Proportionalitätsfaktor $\frac{\pi }{180{}^{\circ }}$ beziehungsweise $\frac{180{}^{\circ }}{\pi }$ sehr einfach ist.