Kapitel 5 Geometrie

Abschnitt 5.4 Vielecke, Flächeninhalt und Umfang

5.4.2 Vierecke

Im vorherigen Abschnitt 5.3 wurden Dreiecke betrachtet. Dazu wurde von drei Punkten ausgegangen, die nicht auf einer Geraden liegen. Will man all diese drei Punkte durch alle möglichen Kombinationen von 3 Strecken (zwischen jeweils zwei der drei Punkte) verbinden, ergibt sich immer ein geschlossener Weg. Dabei ist jeder gegebene Punkt immer eine Schnittstelle von genau zwei Strecken. Außerdem gibt es keine Kreuzungspunkte.
Bei mehr als drei Punkten ist dies nicht immer der Fall. Bereits vier Punkte können so verbunden werden, dass sich die Verbindungsstrecken kreuzen oder dass sich mehrere geschlossene Wege ergeben.
Hier sollen die Strecken alle gegebenen Punkte durch einen einzigen geschlossenen Weg miteinander verbinden, der kreuzungsfrei verläuft.

Offenbar kann ein Viereck in zwei Dreiecke zerlegt werden. Im Allgemeinen erhält man zwei Dreiecke, wenn man eine Ecke mit dem größten Winkel mit der gegenüberliegenden Ecke durch eine Strecke verbindet. Eine solche Strecke zwischen Ecken, die nicht miteinander verbunden sind, heißt eine Diagonale des Vierecks. Aus der Kenntnis, dass die Summe der (Innen-)Winkel eines Dreicks $\pi$ beziehungsweise $180{}^{\circ }$ ist, folgt damit, dass die Summe der (Innen-)Winkel eines Vierecks doppelt so groß ist, also $2\pi$ beziehungsweise $360{}^{\circ }$ beträgt.

Genauso wie Dreiecke, werden auch Vierecke in vielfältiger Weise in der technischen Konstruktionen verwendet. Dadurch sind weitere alltägliche Namen gebräuchlich, die verschiedene Klassen von Vierecken bezeichnen.
Wie bei Dreiecken werden auch Vierecke nach der Länge von Seiten oder nach der Größe von Winkeln eingeteilt. Dabei erkennt man typische Unterschiede zu Dreiecken. Anders als dort kann es bei Vierecken beispielsweise parallele Seiten geben. Außerdem ist es möglich, dass es mehr als eine Ecke mit einem rechten Winkel gibt.
Für das Einheitsquadrat muss also auch ein Längenmaßstab vereinbart werden.

Unter den gerade eingeführten speziellen Vierecken gibt es eine ganze Reihe von Zusammenhängen:

Diese Vierecke können auf vielerlei Weisen anhand von Eigenschaften der Seiten, Winkel oder auch Diagonalen charakterisiert werden.

Rauten können als besondere Parallelogramme beschrieben werden.

Bei Rechtecken denkt man oft an rechte Winkel, wie es ihr Name andeutet. Darüber hinaus können Rechtecke mit Hilfe von Eigenschaften ihrer Diagonalen einfach beschrieben werden.

Quadrate sind sowohl besondere Recktecke als auch spezielle Rauten.