Kapitel 2 Gleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 2.1 Einfache Gleichungen

2.1.1 Einführung

Info 2.1.1
 
Eine Gleichung ist ein Ausdruck der Form

Linke Seite   =   Rechte Seite  ,

wobei auf beiden Seiten der Gleichung mathematische Ausdrücke stehen. In diesen Ausdrücken kommen in der Regel Variablen vor (z.B. x). In Abhängigkeit von den Variablen ist eine Gleichung erfüllt, falls auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens der gleiche Wert steht. Sie ist nicht erfüllt, falls ungleiche Werte auf beiden Seiten stehen.

Gleichungen beschreiben Zusammenhänge zwischen Ausdrücken oder stellen ein zu lösendes Problem dar. Eine Gleichung an sich ist nicht wahr oder falsch, sondern sie wird durch manche Variablenwerte erfüllt und durch andere Werte nicht. Um Wahrheit oder Falschheit für solche Werte zu prüfen, müssen diese in die Gleichung eingesetzt werden. Beide Seiten der Gleichung wertet man dann zu konkreten Zahlen aus. Die Gleichung wird durch die eingesetzten Werte erfüllt, falls die ausgewerteten Zahlen auf den beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen:
Beispiel 2.1.2
Die Gleichung 2x-1= x2 besitzt die linke Seite 2x-1 und die rechte Seite x2 . Einsetzen von x=1 ergibt den Zahlenwert 1 auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens, also ist x=1 eine Lösung dieser Gleichung. Dagegen ist x=2 keine Lösung, denn eine Auswertung ergibt 3 auf der linken Seite und 4 auf der rechten Seite der Gleichung.

Info 2.1.3
 
Die Lösungsmenge L einer Gleichung ist die Menge aller Zahlen, die, wenn sie für die Variable (z.B. x) in der Gleichung eingesetzt werden, die Beziehung

Linke Seite   =   Rechte Seite  ,

erfüllt.

Typische Aufgabenstellungen für Gleichungen sind
  • Angabe der Lösungen einer Gleichung, d.h. aller Werte für die Variablen, welche die Gleichung erfüllen,
  • Umformen der Gleichung, insb. Auflösen nach den Variablen,
  • das Finden einer Gleichung, die ein textuell gegebenes Problem beschreibt.

Beispiel 2.1.4
Eine Spareinlage soll so konzipiert werden, dass eine feste Rendite pro Jahr entsteht. Ziel der Bank ist es zu erreichen, dass der Sparer bei einer Geldeinlage für 5 Jahre genau 600 Euro mehr Rendite bekommt, als wenn er es nur 2 Jahre angelegt hätte.  
Die Aufgabenstellung wird zunächst in eine Gleichung übersetzt, wobei die Variable r für die Rendite pro Jahr stehen soll. Die Gleichung lautet dann 5·r=2·r+600 und drückt aus, dass fünf Renditeauszahlungen (linke Seite der Gleichung) den gleichen Wert ergeben wie zwei Auszahlungen plus 600 (die Einheit Euro lässt man in der Rechnung dann weg).  
Diese Gleichung kann sehr einfach nach r aufgelöst werden, indem man auf beiden Seiten 2r abzieht. Dann lautet die Gleichung 3r=600 und Teilen durch 3 ergibt die Lösung r=200.  
Die Bank muss also eine Rendite von 200 Euro im Jahr anbieten, damit das geforderte Sparziel erfüllt ist.

Info 2.1.5
 
Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.  
Eine Äquivalenzumformung ist eine spezielle Umformung, welche die Gleichung, aber nicht ihre Lösungsmenge verändert. Wichtige Äquivalenzumformungen sind
  • Addieren/Subtrahieren von Termen auf beiden Seiten der Gleichung,
  • Vertauschung der beiden Seiten der Gleichung,
  • Umformen von Termen auf einer Seite der Gleichung,
  • bekannte Zusammenhänge einsetzen.
 
Die folgenden Umformungen sind nur dann Äquivalenzumformungen, wenn der verwendete Term nicht Null ist (was von den Variablen abhängen kann):
  • Multiplikation/Division mit einem Term (dieser Term darf nicht Null sein),
  • Bilden des Kehrwerts auf beiden Seiten der Gleichung (beide Seiten müssen verschieden von Null sein).

Dabei verwendet man folgende Notation:
  • Äquivalente Gleichungen werden durch das Symbol ⇔ (gesprochen: genau dann wenn, d.h. die eine Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn auch die andere Gleichung erfüllt ist) gekennzeichnet.
  • Unter das Symbol (oder bei mehrzeiligen Lösungen abgetrennt neben die Umformung) wird die Umformungsoperation geschrieben.

Dabei ist wichtig, dass ein Leser die durchgeführte Umformung genau nachvollziehen kann.
Beispiel 2.1.6
Zwei einfache einzeilige Äquivalenzumformungen. Auch wenn dass Symbol ⇔ in beide Richtungen zeigt wird die Notation so interpretiert, dass man die Umformung von links nach rechts angewendet hat:

3x- x2   =  2x- x2 +1     ⇔ ⏟ + x2     3x  =  2x+1     ⇔ ⏟ -2x     x  =  1 .

Die Gleichungen links und rechts sind äquivalent. Auf der linken Seite steht die ursprüngliche Gleichung (die zu einem konkreten textuellen Problem gehört), auf der rechten Seite steht eine dazu äquivalente Gleichung, an der man die einzige Lösung sofort ablesen kann.

Beispiel 2.1.7
Bei mehreren komplizierten Umformungen sollten die Umformungsschritte untereinander geschrieben werden. In diesem Fall notiert man die durchgeführte Operation mit einem Trennstrich:

Start: 12+t  =   2t 2 t2 +t    ‖                -t    ⇔ 12  =   2t 2 t2     ‖                 Gleichung umgedreht     ⇔ 2t 2 t2   =  12    ‖                 Linke Seite umgeformt     ⇔ 1 t   =  12    ‖                 Kehrwerte genommen     ⇔ t  =   1 12  .


Dabei können sowohl kurze Symbole wie z.B. -t hinter dem Trennstrich stehen wie auch textuelle Beschreibungen. Wichtig dabei ist, dass ein Leser nachvollziehen kann, welche Umformungsschritte durchgeführt worden sind und ob diese richtig sind.

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