Onlinebrückenkurs MathematikKapitel 2 Gleichungen in einer Unbekannten
Abschnitt 2.1 Einfache Gleichungen2.1.4 Auflösen linearer Gleichungen
Diese drei Situationen erkennt man an der Umformungskette:
- Endet die Umformungskette mit einer für alle falschen Aussage (z.B. ), so ist die Gleichung unlösbar.
- Endet die Umformungskette mit einer für alle wahren Aussage (z.B. ), so ist die Gleichung für alle Werte von lösbar.
- Ansonsten kann die Gleichung aufgelöst werden, d.h. man kann sie zur Gleichung umformen und die Lösung ablesen.
Mengennotation 2.1.15
In Mengenschreibweise (mit der Lösungsmenge ) kann man diese Fälle so notieren:
- oder , falls es keine Lösung gibt,
- , falls es eine Lösung gibt,
- , falls alle reellen Zahlen Lösungen sind.
Beispiel 2.1.16
Die lineare Gleichung hat eine Lösung. Diese erhält man durch Äquivalenzumformungen:
Also ist die einzige Lösung.
Also ist die einzige Lösung.
Beispiel 2.1.17
Die lineare Gleichung hat eine Lösung:
Dies ist eine falsche Aussage, also ist die Gleichung für alle (Bedingung aus der Umformung) falsch. Einsetzen von erfüllt jedoch die Gleichung, daher ist es die einzige Lösung.
Alternativ hätte man die Gleichung auch so umformen können:
Dies ist eine falsche Aussage, also ist die Gleichung für alle (Bedingung aus der Umformung) falsch. Einsetzen von erfüllt jedoch die Gleichung, daher ist es die einzige Lösung.
Alternativ hätte man die Gleichung auch so umformen können:
Aufgabe 2.1.18
Formen Sie um und geben Sie die Lösungsmengen dieser linearen Gleichungen an:
Schreiben Sie einfach für eine einelementige Menge und für die leere Menge.
Schreiben Sie einfach für eine einelementige Menge und für die leere Menge.
- hat die Lösungsmenge ,
- hat die Lösungsmenge ,
- hat die Lösungsmenge .
Aufgabe 2.1.19
Berechnen Sie die Lösung der allgemeinen linearen Gleichung , wobei reelle Zahlen sind. Geben Sie an, wann die drei Fälle eintreten:
- Jedes ist Lösung () falls
und ist.
- Es gibt keine Lösung () falls
und
ist.
- Ansonsten gibt es nur eine Lösung, und zwar .
