Kapitel 2 Gleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 2.1 Einfache Gleichungen

2.1.2 Bedingungen in Umformungen

Multiplikationen, Divisionen oder das Bilden von Kehrwerte sind nur Äquivalenzumformungen, wenn die Faktoren bzw. Terme nicht Null sind. In Beispiel 2.1.7 ist für den Leser nachvollziehbar, dass beide Seiten der Gleichung nicht Null sind, daher ist die Umformung erlaubt. Wenn die Variablen selbst in der Umformung eingesetzt werden, so muss gesondert notiert werden, dass der betroffene Term nicht Null sein darf. Das Ende der Umformungskette ist dann nur für Werte gültig, welche die Bedingungen aus den Umformungen erfüllen. Alle anderen Werte müssen gesondert überprüft werden, typischerweise indem man sie direkt in die Gleichung einsetzt:
Beispiel 2.1.8
In diesem Beispiel sind die notwendigen Bedingungen für die Umformungen nicht problematisch:

Start: 9x  =  81 x2     ‖                :x , Umformung erlaubt falls   x≠0    ⇔ 9  =  81x    ‖                :81   und umdrehen     ⇔ x  =   1 9      und erfüllt die Bedingung   x≠0 .

Auch das durch die Bedingung aussortierte x=0 muss geprüft werden: Die Gleichung 9x=81 x2 ist für x=0 erfüllt, also ist auch x=0 eine Lösung. In Mengenschreibweise hat diese Gleichung die Lösungsmenge L={0; 1 9 }.

Werte, welche die Bedingungen verletzen, müssen in jedem Fall gesondert untersucht werden, auch wenn sie am Ende als Lösung in der Gleichung stehen:
Beispiel 2.1.9


Start: x2 -2x  =  2x-4    ‖                 Terme auf den beiden Seiten zusammenfassen     ⇔ x·(x-2)  =  2·(x-2)    | :(x-2) , Umformung nur zulässig falls   x≠2    ⇔ x  =  2 .

Dieses x verletzt die Bedingung x≠2, es kann daher sein, dass es sich nicht um eine Lösung handelt. Einsetzen von x=2 in die Startgleichung ergibt 22 -2·2=0 auf der linken Seite, ebenso 2·2-4=0 auf der rechten Seite. Also ist x=2 tatsächlich eine Lösung, auch wenn es die Umformungsbedingung verletzt.

Aufgabe 2.1.10
Finden Sie die Lösung der Gleichung (x-2)(x-3)= x2 -9, indem Sie die rechte Seite mit Hilfe der dritten binomischen Formel umformen und dann einen Faktor abdividieren.  
Die Lösung ist x =
.  

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