Kapitel 2 Gleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 2.2 Betragsgleichungen

2.2.2 Fallunterscheidungen vornehmen

Info 2.2.2

Eine Betragsgleichung wird zur Lösung in zwei Fälle unterteilt:

Für diejenigen $x$ , für die der Term im Betrag nicht negativ ist, kann der Betrag weggelassen bzw. durch einfache Klammern ersetzt werden.
Für diejenigen $x$ , für die der Term im Betrag negativ ist, wird der Term in Klammern gesetzt und negiert.

Die Lösungsmengen aus den Fällen werden dann eingeschränkt, so dass sie der Fallbedingung genügen. Erst nachdem dieser Vorgang für alle Fälle abgeschlossen ist, werden die Teilmengen zur Lösungsmenge für die ursprüngliche Gleichung vereinigt.

Beim Auflösen von Betragsgleichungen ist es wichtig, den Lösungsweg richtig aufzuschreiben und die Fälle deutlich zu unterscheiden. Dieses Video demonstriert die ausführliche schriftliche Auflösung der Betragsgleichung

| 2 x - 4 | = 6

durch eine Fallunterscheidung:

Video 1: Ausführen einer Fallunterscheidung.

Die Kurzschreibweise für die im Video aufgestellte Fallunterscheidung wäre

| 2 x - 4 | = {\begin{matrix} 2 x - 4 & falls x \geq 2 \\ - 2 x + 4 & falls x < 2 \end{matrix} = {\begin{matrix} 2 x - 4 & falls x \geq 2 \\ - 2 x + 4 & sonst \end{matrix} .

In einem Eingabefeld würde man das als falls(x>=2;2*x-4;-2*x+4) eintippen. Auch falls(x<2;-2*x+4;2*x-4) wäre richtig.

Aufgabe 2.2.3

Beschreiben Sie den Wert des Ausdrucks

2 \cdot | x - 4 |

durch eine Fallunterscheidung:

2 \cdot | x - 4 |

=
.

Schreiben Sie die Fallunterscheidung in der Form falls(BEDINGUNG;W1;W2), wobei W1 der angenommene Wert ist, falls die Bedingung erfüllt ist. Verwenden Sie nicht die Betragsfunktion.

\begin{matrix} 2 \cdot | x - 4 | = {\begin{matrix} 2 x - 8 & falls x \geq 4 \\ - 2 x + 8 & falls x < 4 \end{matrix} \end{matrix}

Aufgabe 2.2.4

Reproduzieren Sie die Schritte aus dem obigen Video, um die Betragsgleichung

| 6 + 3 x | = 12

aufzulösen.
Die Fallunterscheidung in Kurzschreibweise lautet

| 6 + 3 x |

=
.

\begin{matrix} | 6 + 3 x | = {\begin{matrix} 6 + 3 x & falls x \geq - 2 \\ - 6 - 3 x & falls x < - 2 \end{matrix} \end{matrix}

Schreiben Sie die Fallunterscheidung in der Form falls(BEDINGUNG;W1;W2), wobei W1 der angenommene Wert ist, falls die Bedingung erfüllt ist. Sie können auch eines der Eingabebeispiele in das Eingabefeld kopieren und für die neue Ungleichung anpassen.
Bestimmung der Lösungen innerhalb der Fälle und Prüfung der Fallbedingungen ergibt die Lösungsmenge

L

=

für die Gleichung

| 6 + 3 x | = 12

\begin{matrix} L = {- 6; 2} \end{matrix}

Mengen können in der Form ${$ a;b;c;... $}$ eingegeben werden.

Mit dieser Trainingsaufgabe kann das schrittweise Auflösen von Betragsgleichungen geübt werden:

Aufgabe 2.2.5

Lösen Sie die Gleichung

2 | 6 x + 3 | + 4 x - 4 = 5 | - 3 x - 3 | - 1

Im ersten Schritt können die Terme außerhalb der Betragszeichen zusammengefasst werden:

2 | 6 x + 3 | + 4 x - 4 = 5 | - 3 x - 3 | - 1 \Leftrightarrow 4 x - 5 | 3 x + 3 | + 2 | 6 x + 3 | - 3 = 0

Für diese Gleichung haben wir 4 Fälle zu unterscheiden:

$(0 \leq 6 x + 3 und 0 \leq - 3 x - 3) : keine Lösung. Diese Bedingung ist nirgendwo erfüllt.$
$(0 \leq 6 x + 3 und - 3 x - 3 < 0) \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq x \Leftrightarrow x \in [- \frac{1}{2}; \infty [$
$(6 x + 3 < 0 und 0 \leq - 3 x - 3) \Leftrightarrow x \leq - 1 \Leftrightarrow x \in] - \infty; - 1]$
$(6 x + 3 < 0 und - 3 x - 3 < 0) \Leftrightarrow - 1 < x \land x < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \in] - 1; - \frac{1}{2} [$

Der 1. Fall ist nirgendwo erfüllt. Betrachte weiter nur die restlichen Fälle.
Fallunterscheidung:

Sei $x \in [- \frac{1}{2}; \infty [$ . In diesem Fall gilt: $| 6 x + 3 | = 6 x + 3$ und $| - 3 x - 3 | = 3 x + 3$ .
Damit ist die Gleichung $4 x - 5 | 3 x + 3 | + 2 | 6 x + 3 | - 3 = 0$ äquivalent zur Gleichung $2 (6 x + 3) - 5 (3 x + 3) + 4 x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow x - 12 = 0$ $\Leftrightarrow x = 12 .$ Die Lösung muss auch die Fallbedingung $x \in [- \frac{1}{2}; \infty [$ erfüllen. Die gefundene Lösung $x = 12$ erfüllt die Fallbedingung $x \in [- \frac{1}{2}; \infty [$ und deshalb ist $L_{1} = {12}$
Sei $x \in] - \infty; - 1]$ . In diesem Fall gilt: $| 6 x + 3 | = - 6 x - 3$ und $| - 3 x - 3 | = - 3 x - 3$ .
Damit ist die Gleichung $4 x - 5 | 3 x + 3 | + 2 | 6 x + 3 | - 3 = 0$ äquivalent zur Gleichung $2 (- 6 x - 3) - 5 (- 3 x - 3) + 4 x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow 7 x + 6 = 0$ $\Leftrightarrow x = - \frac{6}{7} .$ Die Lösung muss auch die Fallbedingung $x \in] - \infty; - 1]$ erfüllen. Die gefundene Lösung $x = - \frac{6}{7}$ erfüllt die Fallbedingung $x \in] - \infty; - 1]$ nicht und deshalb ist $L_{2} = ∅$
Sei $x \in] - 1; - \frac{1}{2} [$ . In diesem Fall gilt: $| 6 x + 3 | = - 6 x - 3$ und $| - 3 x - 3 | = 3 x + 3$ .
Damit ist die Gleichung $4 x - 5 | 3 x + 3 | + 2 | 6 x + 3 | - 3 = 0$ äquivalent zur Gleichung $2 (- 6 x - 3) - 5 (3 x + 3) + 4 x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow - 23 x - 24 = 0$ $\Leftrightarrow x = - \frac{24}{23} .$ Die Lösung muss auch die Fallbedingung $x \in] - 1; - \frac{1}{2} [$ erfüllen. Die gefundene Lösung $x = - \frac{24}{23}$ erfüllt die Fallbedingung $x \in] - 1; - \frac{1}{2} [$ nicht und deshalb ist $L_{3} = ∅$

Die Lösungsmenge des Ausgangsproblems ist die Vereinigung der einzelnen Lösungsmengen:

L = L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3} = {12} \cup ∅ \cup ∅ = {12} .

Onlinebrückenkurs Mathematik

1. Elementares Rechnen

2. Gleichungen in einer Unbekannten

3. Ungleichungen in einer Unbekannten

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