Kapitel 2 Gleichungen in einer Unbekannten

Abschnitt 2.1 Einfache Gleichungen

2.1.5 Auflösen quadratischer Gleichungen

Info 2.1.20
 
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form a x2 +bx+c=0 mit a≠0,oder in normierter Form x2 +px+q=0 schreiben lässt. Diese erhält man durch Division der gesamten Gleichung durch a. 

 Für eine quadratische Gleichung in einer Variablen (hier x) gibt es nur drei Möglichkeiten:
  • Sie ist nicht lösbar: L={},
  • sie besitzt eine einzige Lösung L={ x1 },
  • sie besitzt zwei verschiedene Lösungen L={ x1 ; x2 }.

Die Lösungen erhält man dabei über quadratische Lösungsformeln.
Info 2.1.21
 
Die pq-Formel für die Gleichung x2 +px+q=0 lautet

x1,2   =  - p 2 ± ( p 2 )2 -q .

Dabei besitzt die Gleichung
  • keine (reelle) Lösung, falls ( p 2 )2 -q<0 ist (dann darf man die Wurzel nicht ziehen),
  • eine einzige Lösung x1 =- p 2 , falls ( p 2 )2 =q ist und die Wurzel verschwindet,
  • zwei verschiedene Lösungen, falls der Ausdruck unter der Wurzel eine positive Zahl ist.
Der hierbei betrachtete Ausdruck unter der Wurzel, D:= ( p 2 )2 -q, heißt Diskriminante.
Die Lösung einer quadratischen Gleichung wird häufig durch eine alternative Formel beschrieben:
Info 2.1.22
 
Für die Gleichung a x2 +bx+c=0 mit a≠0 lautet die abc-Formel oder Mitternachtsformel

x1,2   =   -b± b2 -4ac 2a  .

Dabei besitzt die Gleichung
  • keine (reelle) Lösung, falls b2 -4ac<0 ist (eine Quadratwurzel negativer Zahlen existiert im Reellen nicht),
  • eine einzige Lösung x1 =- b 2a , falls b2 =4ac ist und die Wurzel verschwindet,
  • zwei verschiedene Lösungen, falls der Ausdruck unter der Wurzel eine positive Zahl ist.
Auch der hierbei betrachtete Ausdruck unter der Wurzel, D:= b2 -4ac, heißt Diskriminante.
Beide Formeln führen natürlich auf dieselben Lösungen. (Für die Anwendung der pq-Formel ist die Gleichung durch den Vorfaktor a des quadratischen Terms zu dividieren.)

Die drei unterschiedenen Situationen entsprechen den drei möglichen Schnitten, die der Graph einer (für der Fall der pq-Formel) nach oben geöffneten Parabel der Form f(x)= x2 +px+q mit der x-Achse haben kann:

Die drei Situationen: Kein Schnittpunkt, ein Schnittpunkt und zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
Beispiel 2.1.23
Die quadratische Gleichung x2 -x+1=0 hat keine Lösung, denn in der pq-Formel ist 1 4 p2 -q=- 3 4 negativ. Dagegen besitzt x2 -x-1=0 die beiden Lösungen

x1 = 1 2 + 1 4 +1  =   1 2 (1+5) ,  x2 = 1 2 - 1 4 +1  =   1 2 (1-5) .


Info 2.1.24
 
Der Funktionsausdruck einer Parabel liegt in Scheitelpunktform vor, wenn er die Form f(x)=a·(x-s )2 -d mit a≠0 besitzt. In dieser Situation ist (s;-d) der Scheitelpunkt der Parabel. Die zugehörige quadratische Gleichung für f(x)=0 lautet dann a·(x-s )2 =d.
Dividiert man diese Gleichung durch a, dann erhält man die äquivalente quadratische Gleichung (x-s )2 = d a . Da die linke Seite ein Quadrat eines reellen Ausdrucks ist, existieren nur Lösungen, wenn auch die rechte Seite nicht negativ ist, d.h. d a ≥0 gilt. Durch Wurzelziehen unter Beachtung beider möglicher Vorzeichen folgt dann x-s=± d a .
Falls d a >0 ist, gibt es damit die beiden Lösungen

x1   =  s- d a  ,   x2   =  s+ d a

der Gleichung; diese liegen symmetrisch um die x-Koordinate s des Scheitelpunkts. Für d=0 gibt es nur eine Lösung.
Das Vorzeichen von a bestimmt, ob der Funktionsausdruck eine nach oben oder unten geöffnete Parabel beschreibt. So die Parabel für ein positives a nach oben und für ein negatives a nach unten geöffnet.

Die quadratische Gleichung hat nur eine einzige Lösung s, falls sie sich in die Form (x-s )2 =0 bringen lässt.
Info 2.1.25
 
Beliebige quadratische Gleichungen kann man (ggf. Sortieren der Terme auf die linke Seite und Normieren) durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform bringen. Dazu wird auf beiden Seiten eine Konstante addiert, so dass links ein Term der Form x2 ±2sx+ s2 für die erste oder zweite binomische Formel entsteht.

Beispiel 2.1.26
Die Gleichung x2 -4x+2=0 kann man durch Addieren der Konstanten 2 in die Form x2 -4x+4=2 bzw. in die Scheitelpunktform (x-2 )2 =2 bringen. Aus ihr kann man die Lösungen x1 =2-2 und 2+2 leicht ablesen. Andererseits besitzt die quadratische Gleichung x2 +x=-2 keine Lösung, denn die quadratische Ergänzung führt auf x2 +x+ 1 4 =- 7 4 bzw. (x+ 1 2 )2 =- 7 4 mit negativer rechter Seite bei a=1.

Aufgabe 2.1.27
Bestimmen Sie die Lösungen dieser quadratischen Gleichungen über quadratische Ergänzung, nachdem Sie die Terme auf die linke Seite sortiert und normiert (d.h. a=1 gewählt) haben:
  1. x2 =8x-1 hat die Scheitelpunktform
     =  .
    Die Lösungsmenge ist L  =  .
  2. x2 =2x+2+2 x2 hat die Scheitelpunktform
     =  .
    Die Lösungsmenge ist L  =  .
  3. x2 -6x+18=- x2 +6x hat die Scheitelpunktform
     =  .
    Die Lösungsmenge ist L  =  .
Mengen können in der Form { a;b;c; …} eingegeben werden. Die leere Menge kann als {} eingegeben werden.



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