Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Abschnitt 4.1 Was sind Lineare Gleichungssysteme?

4.1.2 Inhalt

Bevor man richtig loslegen kann, muss man den Sprachgebrauch noch ein bisschen schärfen. Die beiden Gleichungen aus dem einführenden Beispiel 4.1.1 stellen ein Lineares Gleichungssystem für zwei Unbekannte $x$ und $y$ dar. Dagegen bilden die drei Gleichungen

${\displaystyle x+y+z=3\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{und}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}x+y-z=1\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{und}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}x·y+z=2}$

in den Unbekannten $x,y$ und $z$ zwar ein Gleichungssystem, jedoch kein lineares, da in der dritten Gleichung der Term $x·y$ auftritt, der bilinear in $x$ und $y$ ist und daher der Bedingung der Linearität widerspricht.
Übrigens muss bei einem Gleichungssystem die Anzahl der Gleichungen nicht gleich der Anzahl der Unbekannten sein; darauf wird man später noch zurückkommen. Lineare Gleichungssysteme zeichnen sich gegenüber allgemeinen Gleichungssystemen durch eine meist deutlich größere Einfachheit aus. Nichtsdestotrotz spielen sie in den verschiedensten Bereichen eine zentral wichtige Rolle, so in der Medizin z.B. im Zusammenhang mit der Computertomographie, in der Technik etwa bei der Beschreibung, wie sich Schall in komplex gestalteten Räumen ausbreitet, oder in der Physik beispielsweise bei der Frage, welche Wellenlängen angeregte Atome aussenden können. Daher ist es zweifelsohne lohnenswert, sich intensiv mit Linearen Gleichungssystemen auseinanderzusetzen.
Im Vordergrund steht bei Gleichungssystemen generell die Frage, welche Zahlenwerte man für die Unbekannten wählen muss, damit alle Gleichungen des Systems simultan erfüllt sind. Ein solcher Satz von Zahlenwerten für die Unbekannten wird auf den Begriff der Lösung eines Gleichungssystems führen.
Zuvor sollte jedoch eine Feinheit beachtet werden: Abhängig von der Problemstellung ist es unter Umständen nicht sinnvoll, alle möglichen Zahlenwerte für die Unbekannten zuzulassen. Im Eingangsbeispiel 4.1.1 repräsentieren die Unbekannten $x$ und $y$ die Stückzahlen der Ein- bzw. Zweiräder im Besitz der Artistengruppe. Solche Stückzahlen können nur ganze nichtnegative Zahlen, also Elemente von $\mathbb{N}{}_0$, sein. Daher muss man in diesem Fall die Menge der Zahlen, aus denen die Lösungen stammen können, von vornherein auf $\mathbb{N}{}_0$ einschränken (und zwar sowohl für $x$ als auch $y$). Ist keine weitere Aussage über die Grundmenge getroffen - und lässt sich auch keine Aussage aus der Problembeschreibung ableiten -, so wird stillschweigend davon ausgegangen, dass die Grundmenge gleich $ℝ$, also gleich der Menge der reellen Zahlen, ist.