Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Abschnitt 4.3 LGS mit drei Unbekannten

4.3.5 Aufgaben

Aufgabe 4.3.10

Geben Sie die Lösungsmenge für das Lineare Gleichungssystem

\begin{matrix} 2 x - y + 5 z & = & 1, \\ 11 x + 8 z & = & 2, \\ - 4 x + y - 3 z & = & - 1 \end{matrix}

an. Verwenden Sie zum Lösen

die Einsetzmethode,
die Additionsmethode.

Man stellt z.B. die erste Gleichung ( $2 x - y + 5 z = 1$ ) nach $y$ frei, $y = 2 x + 5 z - 1$ , und setzt dieses Ergebnis in die dritte Gleichung ( $- 4 x + y - 3 z = - 1$ ) ein:

$- 4 x + (2 x + 5 z - 1) - 3 z = - 1 \Leftrightarrow - 2 x + 2 z = 0 \Leftrightarrow z = x .$
Das letzte Ergebnis, das schon nach der Unbekannten $z$ aufgelöst wurde, setzt man in die zweite Gleichung ein ( $11 x + 8 z = 2$ ), die von vornherein unabhängig von $y$ ist:

$11 x + 8 x = 2 \Leftrightarrow 19 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{19} .$
Damit gilt auch

$z = \frac{2}{19},$
und für $y$ erhält man - gemäß der Gleichung aus der ersten Umformung -:

$y = 2 \cdot \frac{2}{19} + 5 \cdot \frac{2}{19} - 1 = \frac{4 + 10 - 19}{19} = \frac{- 5}{19} .$
Also ist das Lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar mit $L = {(x = \frac{2}{19}; y = - \frac{5}{19}; z = \frac{2}{19})}$ .
Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.
Addition der ersten und der dritten Gleichung eliminiert die Unbekannte $y$ :

$(2 x - y + 5 z) + (- 4 x + y - 3 z) = 1 + (- 1) \Leftrightarrow - 2 x + 2 z = 0 .$
Multipliziert man die letzte Gleichung mit $(- 4)$ , so entsteht

$8 x - 8 z = 0,$
und die anschließende Addition der zweiten Gleichung ( $11 x + 8 z = 2$ ) sorgt dafür, dass die Abhängigkeit von $z$ herausfällt:

$(8 x - 8 z) + (11 x + 8 z) = 0 + 2 \Leftrightarrow 19 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{19} .$
Wie im ersten Aufgabenteil können in der Folge $z$ und $y$ bestimmt werden; natürlich bekommt man dasselbe Ergebnis $L = {(x = \frac{2}{19}; y = - \frac{5}{19}; z = \frac{2}{19})}$ .
Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.

Aufgabe 4.3.11

Die folgende einfache Schaltung soll betrachtet werden:

Sie ist aus einer Spannungsquelle, die eine Spannung

U = 5.5 V

liefern soll, sowie aus drei Widerständen

R_{1} = 1 Ω

R_{2} = 2 Ω

und

R_{3} = 3 Ω

aufgebaut. Gefragt ist nach den in den einzelnen Zweigen fließenden Strömen

I_{1}

I_{2}

und

I_{3}

.
Hinweise: Die Zusammenhänge zwischen den interessierenden Größen, sprich den Spannungen, den Widerständen und den Stromstärken, werden für solche Schaltungen von den sogenannten Kirchhoffschen Regeln geliefert, die im vorliegenden Beispiel drei Gleichungen bereitstellen:

\begin{matrix} I_{1} - I_{2} - I_{3} & = & 0 : Gleichung (1), \\ R_{1} I_{1} + R_{2} I_{2} & = & U : Gleichung (2), \\ R_{2} I_{2} - R_{3} I_{3} & = & 0 : Gleichung (3) . \end{matrix}

Außerdem wird die Beziehung zwischen den physikalischen Einheiten Volt (

V

) (für die Spannung), Ampère (

A

) (für die Stromstärke) und Ohm (

Ω

) (für den Widerstand) benötigt:

1 Ω = (1 V) / (1 A)

Man löst z.B. die erste Gleichung nach

I_{1}

auf,

I_{1} = I_{2} + I_{3},

und setzt das Ergebnis in die zweite Gleichung ein:

R_{1} (I_{2} + I_{3}) + R_{2} I_{2} = U \Leftrightarrow (R_{1} + R_{2}) I_{2} + R_{1} I_{3} = U : Gleichung (2') .

Die letzte Gleichung und die dritte Gleichung im ursprünglichen System hängen nur noch von den Unbekannten

I_{2}

und

I_{3}

ab. Sie bilden ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten, das man jetzt weiter löst: Dazu stellt man z.B. die dritte Gleichung des ursprünglichen Systems nach

I_{3}

frei,

I_{3} = \frac{R_{2}}{R_{3}} I_{2} : Gleichung (3'),

und setzt das Resultat in Gleichung

(2')

ein:

\begin{matrix} (R_{1} + R_{2}) I_{2} + R_{1} \cdot \frac{R_{2}}{R_{3}} I_{2} = U \\ \Leftrightarrow & (R_{1} + R_{2} + R_{1} \cdot \frac{R_{2}}{R_{3}}) I_{2} = U \\ \Leftrightarrow & (\frac{R_{1} R_{3}}{R_{3}} + \frac{R_{2} R_{3}}{R_{3}} + \frac{R_{1} R_{2}}{R_{3}}) I_{2} = U \\ \Leftrightarrow & \frac{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}}{R_{3}} I_{2} = U \\ \Leftrightarrow & I_{2} = \frac{R_{3}}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}} U . \end{matrix}

Damit folgt für

I_{3}

wegen Gleichung

(3')

I_{3} = \frac{R_{2}}{R_{3}} \cdot \frac{R_{3}}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}} U = \frac{R_{2}}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}} U

und für

I_{1}

schließlich:

\begin{matrix} I_{1} = I_{2} + I_{3} & = & \frac{R_{3}}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}} \cdot U + \frac{R_{2}}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}} \cdot U \\ = & \frac{R_{2} + R_{3}}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}} \cdot U . \end{matrix}

Nun kann man die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Werte für die Widerstände (

R_{1} = 1 Ω

R_{2} = 2 Ω

und

R_{3} = 3 Ω

) und die Spannung (

U = 5.5 V

) einsetzen; für

I_{1}

erhält man unter Verwendung von

1 V = 1 Ω \cdot 1 A

I_{1} = \frac{(2 + 3) Ω}{(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) Ω^{2}} \cdot 5.5 \cdot Ω \cdot A = 2.5 A .

Analog findet man für

I_{2}

und

I_{3}

I_{2} = 1.5 A

und

I_{3} = 1 A .

Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.

Aufgabe 4.3.12

Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem mit Hilfe der Additionsmethode:

\begin{matrix} x + 2 z & = & 5, \\ 3 x + y - 2 z & = & - 1, \\ - x - 2 y + 4 z & = & 7 . \end{matrix}

Da die erste Gleichung (

x + 2 z = 5

) von vornherein nicht von der Unbekannten

y

abhängt, bietet es sich an, aus der zweiten und dritten Gleichung

y

ebenfalls zu eliminieren. Dazu multipliziert man die zweite Gleichung (

3 x + y - 2 z = - 1

) mit

2

und addiert die resultierende Gleichung zur dritten Gleichung (

- x - 2 y + 4 z = 7

) hinzu:

\begin{matrix} (- x - 2 y + 4 z) + 2 \cdot (3 x + y - 2 z) = 7 + 2 \cdot (- 1) \\ \Leftrightarrow & - x - 2 y + 4 z + 6 x + 2 y - 4 z = 7 - 2 \\ \Leftrightarrow & 5 x = 5 \\ \Leftrightarrow & x = 1 . \end{matrix}

Zufälligerweise fällt gleichzeitig auch die Unbekannte

z

heraus. Mit dem Ergebnis für

x

liefert die erste Gleichung

1 + 2 z = 5 \Leftrightarrow 2 z = 4 \Leftrightarrow z = 2 .

Den Wert für

y

erhält man sodann, indem man z.B. die zweite Gleichung verwendet:

3 \cdot 1 + y - 2 \cdot 2 = - 1 \Leftrightarrow 3 + y - 4 = - 1 \Leftrightarrow y = 0 .

Also lautet die Lösungsmenge

L = {(x = 1; y = 0; z = 2)}

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1. Elementares Rechnen

2. Gleichungen in einer Unbekannten

3. Ungleichungen in einer Unbekannten

4. Lineare Gleichungssysteme

5. Geometrie

6. Elementare Funktionen

7. Differentialrechnung

8. Integralrechnung

9. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

10. Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

11. Sprechweisen der Statistik

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