4.2.4 Aufgaben

1. Auflösen z.B. der 1. Gleichung ($3x+y=4$) nach $y$ liefert $y=4-3x$. Dies kann man dann in die 2. Gleichung ($-x+2y=1$) einsetzen: $-x+2(4-3x)=1\iff -x+8-6x=1\iff -7x=-7\iff x=1$. Mit diesem Ergebnis für $x$ liefert in der Folge z.B. die 1. Gleichung $3·1+y=4\iff y=1$. Die Lösungsmenge $L$ lautet hier also $L=\{(1;1)\}$.
   Selbstverständlich könnte man auch anders beginnen: Man könnte z.B. die 1. Gleichung nach $x$ auflösen und das Ergebnis für $x$ dann in die 2. Gleichung einsetzen, um $y$ zu bestimmen; oder man könnte generell mit der 2. Gleichung beginnen und diese im 1. Schritt nach $x$ oder nach $y$ auflösen. Es bestehen also einige Freiheiten in der Vorgehensweise.
   
2. Auflösen z.B. der 1. Gleichung ($-x+4y=5$) nach $x$ liefert $x=4y-5$. Dies kann man dann in die 2. Gleichung ($2x-8y=-10$) einsetzen: $2(4y-5)-8y=-10\iff 8y-10-8y=-10\iff 0=0$. Es entsteht also keine neue Aussage; mit anderen Worten: Die 2. Gleichung enthält keine neue Information. Damit enthält die Lösungsmenge $L$ in diesem Fall unendlich viele Lösungspaare $(x;y)$, die sich durch eine reelle Zahl $t$ parametrisieren lassen. Wählt man z.B. $y=t$, so lautet die Lösungsmenge $L=\{(4t-5;t)\hspace{0.5em}:\hspace{0.5em}t\in ℝ\}$. Diese Lösungsmenge lässt sich als Gerade im zweidimensionalen Raum veranschaulichen:
   
   Dementsprechend sind andere Parametrisierungen der Lösungsmenge möglich, z.B. indem man als freien Parameter $x\in ℝ$ wählt und die obige Gerade mit Hilfe ihrer Steigung und ihres $y$-Achsenabschnittes charakterisiert, also $L=\{(x;\frac{1}{4}x+\frac{5}{4})\hspace{0.5em}:\hspace{0.5em}x\in ℝ\}$.
   

1. Multipliziert man z.B. die 2. Gleichung ($x+2y=3$) mit $(-2)$, so entsteht die Gleichung $(2\text{'})$: $-2x-4y=-6$. Die letzte Gleichung addiert man dann zur 1. Gleichung ($2x+4y=1$): $2x+4y-2x-4y=1-6\iff 0=-5$. Dies ist ein Widerspruch! Somit ist die Lösungsmenge $L$ für dieses Lineare Gleichungssystem leer: $L=\text{∅}$.
   
2. Multiplikation der 1. Gleichung ($-7x+11y=40$) mit $2$ führt auf die Gleichung $(1\text{'})$: $-14x+22y=80$; Multiplikation der 2. Gleichung mit $7$ auf die Gleichung $(2\text{'})$: $14x+35y=91$. Anschließende Addition der Gleichungen $(1\text{'})$ und $(2\text{'})$ liefert: $-14x+22y+14x+35y=80+91\iff 57y=171\iff y=3$. Setzt man dieses Ergebnis für $y$ z.B. in die 2. Gleichung ein, so entsteht: $2x+5·3=13\iff 2x=13-15\iff 2x=-2\iff x=-1$. Damit lautet die Lösungsmenge $L$ hier: $L=\{(-1;3)\}$.
   

Die 1. Gleichung ($2x=2$) ist äquivalent zu $x=1$: Diese Gleichung beschreibt eine Gerade parallel zur $y$-Achse durch den Punkt $(1;0)$ auf der $x$-Achse. Die 2. Gleichung ($x+3y=4$) kann umgeformt werden zu $y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$; dies beschreibt ebenfalls eine Gerade, diesmal mit der Steigung $-\frac{1}{3}$ und dem $y$-Achsenabschnitt $\frac{4}{3}$. Es ergibt sich also folgendes Bild: Aus diesem Bild liest man die Koordinaten des Schnittpunktes zu $(x=1;y=1)$ ab; daher: $L=\{(1;1)\}$.