Onlinebrückenkurs MathematikKapitel 4 Lineare Gleichungssysteme
Abschnitt 4.3 LGS mit drei Unbekannten4.3.3 Die Einsetzmethode
Die Einsetzmethode wurde bereits im Rahmen von Systemen, bestehend aus zwei Gleichungen in zwei Unbekannten, behandelt, siehe 4.2.2. Auch im vorliegenden Fall eines Systems vom Typ 4.3.2 ändert sich an der Vorgehensweise nichts Prinzipielles:Beispiel 4.3.6
Das einleitende Beispiel 4.3.1 dieses Abschnitts wird wieder aufgegriffen; das Lineare Gleichungssystem im Falle des Rätsels um die drei in Versuchung geführten Kinder lautet:
Man kann mit der Lösung z.B. so beginnen, dass man Gleichung nach freistellt,
Setzt man diese Gleichung in die Gleichungen und ein, so wird aus den letztgenannten Gleichungen die Unbekannte eliminiert:
Man erhält also in diesem Zwischenschritt ein System aus zwei linearen Gleichungen in den zwei Unbekannten und , das mit den Methoden des vorigen Abschnitts 4.2 weiterbehandelt wird.
So kann man z.B. Gleichung nach auflösen,
und diesen Ausdruck in Gleichung einsetzen:
Damit ergibt sich mit Gleichung zu
und schließlich (mit Hilfe von beispielsweise Gleichung ):
Das Lineare Gleichungssystem besitzt daher eine eindeutige Lösung; die Lösungsmenge enthält genau ein Element, . Damit hatte das erste Kind vor dem Portemonnaie-Fund 2, das zweite Kind 6 und das dritte Kind 10 Euro.
Man kann mit der Lösung z.B. so beginnen, dass man Gleichung nach freistellt,
Setzt man diese Gleichung in die Gleichungen und ein, so wird aus den letztgenannten Gleichungen die Unbekannte eliminiert:
Man erhält also in diesem Zwischenschritt ein System aus zwei linearen Gleichungen in den zwei Unbekannten und , das mit den Methoden des vorigen Abschnitts 4.2 weiterbehandelt wird.
So kann man z.B. Gleichung nach auflösen,
und diesen Ausdruck in Gleichung einsetzen:
Damit ergibt sich mit Gleichung zu
und schließlich (mit Hilfe von beispielsweise Gleichung ):
Das Lineare Gleichungssystem besitzt daher eine eindeutige Lösung; die Lösungsmenge enthält genau ein Element, . Damit hatte das erste Kind vor dem Portemonnaie-Fund 2, das zweite Kind 6 und das dritte Kind 10 Euro.
Ein solches Vorgehen ist allerdings nicht zielführend und - wenn man nicht genau aufpasst, was man tut - unter Umständen sogar falsch. Jedenfalls würde es keine Reduktion in der Anzahl der Unbekannten nach sich ziehen. Und das ist ja gerade die Intention, die sowohl hinter der Einsetz- als auch hinter der Gleichsetzmethode steckt: In beiden Verfahren (und auch in der Additionsmethode) geht es darum, in einem ersten und zweiten Schritt eine der Unbekannten zu eliminieren, sodass nur noch ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten (und damit ein einfacheres Problem) verbleibt.
Übrigens, wie man dann dieses reduzierte Problem löst, kann unabhängig von der Art und Weise, wie man begonnen hat, gewählt werden. Mit anderen Worten, es ist durchaus zulässig und - vom rechentechnischen Standpunkt aus gesehen - eventuell sogar clever, beim Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen in drei Unbekannten mit einer Methode, z.B. der Einsetzmethode, zu beginnen, um die Problemstellung auf ein System aus zwei Gleichungen in zwei Unbekannten sozusagen „herunterzubrechen“, und dieses einfachere System dann mit einer anderen Methode, z.B. der Gleichsetzmethode, weiterzubehandeln. In diesem Sinne können die Verfahren also gemischt werden.
Info 4.3.7
Bei der Einsetzmethode wird eine der drei linearen Gleichungen in einem ersten Schritt nach einer der Unbekannten - oder nach einem Vielfachen einer der Unbekannten - freigestellt; dieses Ergebnis wird im zweiten Schritt in die beiden anderen linearen Gleichungen eingesetzt. Es entsteht ein Lineares Gleichungssystem, das nur noch aus zwei Gleichungen in (den verbliebenen) zwei Unbekannten aufgebaut ist und das anschließend mit den Methoden des Abschnitts 4.2 bearbeitet werden kann.
