Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Abschnitt 4.3 LGS mit drei Unbekannten

4.3.4 Die Additionsmethode

Der Grundgedanke der Additionsmethode, der auch schon früher andiskutiert wurde (siehe 4.2.3), besteht darin, Gleichungen des Systems so zu addieren, dass in der resultierenden Gleichung nur noch eine reduzierte Anzahl an Unbekannten auftritt. Dazu ist es meist erforderlich, vor der Addition eine der Gleichungen mit einem geschickt gewählten Faktor zu multiplizieren.
Die Additionsmethode soll für Systeme aus drei Gleichungen in drei Unbekannten gleich in einer Form vorgestellt werden, die sich leicht auf größere Systeme übertragen lässt. Dazu bedient man sich zur Illustration der Vorgehensweise noch einmal des einführenden Beispiels 4.3.1, also des Beispiels der möglicherweise diebischen Kinder: Die aufmerksame Leserin, der aufmerksame Leser mag sich beim Studium des obigen Beispiels unter Umständen die Frage stellen, ob - und wenn ja, warum - es zulässig ist, in einem System eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen.Im Beispiel geschieht dies an drei Punkten, etwa wenn an die Stelle der Gleichung $(2)$ die Kombination Gleichung $(2)$ plus $3$ mal Gleichung $(1)$, also Gleichung $(2\text{'})$, tritt.
Wenn man nach der Lösung eines Gleichungssystems forscht, verlangt man die gleichzeitige Gültigkeit aller Gleichungen des Systems. Damit insistiert man - um im Beispiel 4.3.8 zu sprechen - mit der Forderung, dass Gleichung $(1)$ und Gleichung $(2)$ gelten sollen, klarerweise auch auf der Gültigkeit von

${\displaystyle \text{Gleichung}\hspace{0.5em}(2)+3·\hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(1)\iff \hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(2\text{'})\hspace{0.5em}.}$

Gelten nun stattdessen simultan Gleichung $(1)$ und Gleichung $(2\text{'})$, dann folgt umgekehrt auch die Gültigkeit von Gleichung $(2)$ mit

${\displaystyle \text{Gleichung}\hspace{0.5em}(2\text{'})+(-1)·\hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(1)\iff 3·\hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(2)\iff \hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(2)\hspace{0.5em}.}$

Also ist es zulässig, im System Gleichung $(2)$ durch Gleichung $(2\text{'})$ zu ersetzen.
Zugleich erkennt man hier einen weiteren wichtigen Punkt: Würde man die eine Gleichung $(2\text{'})$ an die Stelle der beiden Gleichungen - Gleichung $(1)$ und Gleichung $(2)$ - treten lassen, so würde man an Information einbüßen und sogar einen Fehler begehen. (Die Forderung von nur $(2\text{'})$ statt $(1)$ und $(2)$ ist eine wesentlich schwächere.) Dies ist der Grund dafür, warum man in die „neuen“ Systeme einige Gleichungen ungeändert übernimmt: Gleichung $(1)$ und Gleichung $(2)$ sind in den jeweiligen Systemen äquivalent zu Gleichung $(1)$ und Gleichung $(2\text{'})$. Analoges trifft natürlich auch auf die anderen Ersetzungen in obigem Beispiel zu - und allgemeiner bei derartigen Umformungen Linearer Gleichungssysteme innerhalb der Additionsmethode.