Kapitel 6 Elementare Funktionen

Abschnitt 6.1 Grundlegendes zu Funktionen

6.1.4 Umkehrbarkeit

Die bildliche Darstellung einer Funktion, wie zum Beispiel

${\displaystyle f:\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill ℝ& \hfill \to \hfill & ℝ\hfill \\ \hfill x& \hfill ⟼\hfill & x^2\hspace{0.5em},\hfill \end{array}}$
als sogenanntes Venn-Diagramm (vgl. Abschnitt 6.1.2)

ist zwar nützlich, um den Funktionsbegriff zu verstehen, sagt aber nicht viel über die besonderen Eigenschaften der Funktion aus. Hierfür gibt es eine andere Möglichkeit der grafischen Darstellung, nämlich die des Graphen der Funktion. Dazu fertigen wir ein zweidimensionales Koordinatensystem (vgl. Modul 9) an, in dem die Zahlen aus dem Definitionsbereich der Funktion auf der $x$-Achse und die Zahlen aus dem Zielbereich auf der $y$-Achse eingetragen werden. In einem solchen Koordinatensystem markieren wir alle Punkte $(x|f(x))$, die durch die Zuordnung der Funktion $x⟼f(x)$ entstehen, in diesem Fall also alle Punkte $(x|x^2)$, d.h. $(1|1)$, $(-1|1)$, $(-\frac{\pi }{2}|\frac{{\pi }^2}{4})$, usw. Dadurch entsteht eine Kurve, die Graph von $f$ genannt und mit dem Symbol $G_f$ bezeichnet wird:

Betrachten wir die Funktion

${\displaystyle f:\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill \mathbb{N}& \hfill \to \hfill & \mathbb{Q}\hfill \\ \hfill n& \hfill ⟼\hfill & \frac{n}{2}\hfill \end{array}}$
aus Abschnitt 6.1.2 und deren Graphen

so stellen wir fest, dass Graphen nicht immer durchgehende Kurven sein müssen, sondern wie in diesem Fall auch nur aus einzelnen Punkten bestehen können.
Anhand des Graphen sind nun viele Grundeigenschaften einer Funktion erkennbar. Rufen wir uns die Funktion

${\displaystyle \phi :\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill (0;1)& \hfill \to \hfill & ℝ\hfill \\ \hfill y& \hfill ⟼\hfill & 3y+1\hfill \end{array}}$
mit dem Definitionsbereich $D_{\phi }=(0;1)$ und dem Wertebereich $W_{\phi }=(1;4)$ aus Abschnitt 6.1.2 ins Gedächtnis. Wenn wir ihren Graphen zeichnen, so erkennen wir, dass der Definitionsbereich und der Wertebereich auf der $x$- bzw. $y$-Achse auftauchen:


Weiterhin ist die Eigenschaft der Eindeutigkeit von Funktionen am Graphen zu erkennen. Um dies einzusehen, machen wir uns klar, dass eine Kurve wie in der folgenden Abbildung

niemals als Graph einer Funktion auftauchen kann. Zu einem $x$-Wert aus dem Definitionsbereich müsste es hier mehrere Werte $y_1,y_2,y_3$ aus dem Wertebereich geben. Graphen von Funktionen geben die Eindeutigkeit also immer dadurch wieder, dass sie ,,nicht in horizontaler Richtung zurücklaufen können".
Eine weitere wichtige Eigenschaft eines Graphen ist sein Wachstumsverhalten. Betrachten wir die Funktion

${\displaystyle f:\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill ℝ& \hfill \to \hfill & ℝ\hfill \\ \hfill x& \hfill ⟼\hfill & x^2\hfill \end{array}}$
und ihren Graphen.

Auf der $x$-Achse in diesem Graphen erkennen wir zwei Bereiche, in denen der Graph unterschiedliches Wachstumsverhalten zeigt. Im Bereich von $x$-Werten mit $x\in (-\infty ;0)$ fällt der Graph. Das heißt, werden die $x$-Werte größer, so werden die zugehörigen Funktionswerte auf der $y$-Achse kleiner. Im Bereich von $x$-Werten mit $x\in (0;\infty )$ stellen wir das gegenteilige Verhalten fest. Bei größer werdenden $x$-Werten werden auch die zugehörigen Funktionswerte größer. Der Graph wächst. Beim Wert $0\in ℝ$ geht der fallende Bereich in den wachsenden Bereich über. Solche Werte werden bei der Untersuchung von Scheitelpunkten in Abschnitt 6.2.7 und beim Bestimmen von Extremwerten in Modul 7 besonders wichtig werden.
Wir bezeichnen diese beiden Eigenschaften als streng monoton fallend bzw. streng monoton wachsend und schreiben sie mathematisch folgendermaßen auf:

Dies gilt so für alle Funktionen, die wir in diesem Modul betrachten werden. Oft treffen die beschriebenen Monotonieeigenschaften nur in bestimmten Bereichen der Definitionsmenge der Funktion zu, wie oben bei der Standardparabel gesehen. Es gibt jedoch auch Funktionen, die nur eine der Monotonieeigenschaften im gesamten Definitionsbereich besitzen (siehe Beispiel 6.1.16 unten). In diesem Fall nennt man dann die gesamte Funktion streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. Weiterhin heißt eine Funktion, die entweder streng monoton fallend oder streng monoton wachsend ist, streng monoton.
Ein weiteres Beispiel zeigt, wie man strenge Monotonie mit Hilfe des Lösens von Ungleichungen aus Modul 3 bei einer Funktion explizit nachrechnen kann.