Kapitel 6 Elementare Funktionen

Abschnitt 6.2 Lineare Funktionen und Polynome

6.2.6 Monome

Neben den affin-linearer Funktionen aus dem vorigen Abschnitt kann man sich nun auch Funktionen überlegen, die allen reellen Zahlen natürliche Potenzen ihrer selbst zuordnen. So zum Beispiel

g:  { ℝ→ℝ x⟼ x2  .


       
Dies funktioniert für jeden natürlichen Exponenten und man schreibt dann allgemein

f:  { ℝ→ℝ x⟼ xn

mit n∈ℕ0 und bezeichnet diese Funktionen als Monome. Der Exponent n eines Monoms wird als Grad des Monoms bezeichnet. So ist etwa die Funktion g vom Anfang dieses Abschnitts ein Monom vom Grad 2, usw.
Aufgabe 6.2.10
Welche Funktion ergibt sich als Monom vom Grad 1 bzw. vom Grad 0 ?

Man bezeichnet das Monom vom Grad 2 auch als die Standardparabel. Das Monom vom Grad 3 wird auch als kubische Standardparabel bezeichnet. Hier einige Graphen von Monomen:

Auf Basis dieser Graphen fassen wir nun einige Erkenntisse über Monome zusammen: Es gibt einen grundlegenden Unterschied zwischen Monomen (mit Abbildungsvorschrift f(x)= xn , n∈ℕ) von geradem und von ungeradem Grad. Die Monome von geradem Grad größer Null haben als Wertebereich immer die Menge [0;∞), während die Monome von ungeradem Grad ganz ℝ als Wertebereich besitzen. Weiterhin gilt stets

f(1)= 1n =1 ,



f(0)= 0n =0

und

f(-1)={ 1 falls  n  gerade -1 falls  n  ungerade  .

Ferner gilt

{ x> x2 > x3 > x4 >… für  x∈(0;1) x< x2 < x3 < x4 <… für  x∈(1;∞) .


Aufgabe 6.2.11
Wie ergeben sich diese Erkenntnisse über Monome unmittelbar aus den Potenzrechengesetzen?


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