Kapitel 6 Elementare Funktionen

Abschnitt 6.5 Trigonometrische Funktionen

6.5.3 Kosinus und Tangens

Im Grunde genommen müssen wir für Kosinus- und Tangensfunktion die zur Sinusfunktion analogen Überlegungen angehen, die wir aus dem vorigen Unterabschnitt 6.5.2 kennen. Da wir schon etwas Übung besitzen, können wir die Diskussion etwas straffen. Beginnen wir mit der Kosinusfunktion und betrachten erneut unsere dem Einheitskreis einbeschriebenen Dreiecke: Wiederum besitzen alle Hypotenusen dieser so konstruierten rechtwinkligen Dreiecke die Länge $1$, sodass die Kosinus der Winkel $\alpha$ im Bild als Längen der Strecken $\overline{AC}$ auftreten. Bewegen wir wie zuvor den Punkt $B$ im Gegenuhrzeigersinn gleichmäßig um den Kreis und variieren so den Winkel $\alpha$, erhalten wir letztlich die Kosinusfunktion:

${\displaystyle \cos :\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill ℝ& \hfill \to \hfill & [-1;+1]\hfill \\ \hfill \alpha & \hfill ⟼\hfill & \cos (\alpha )\hfill \end{array}}$

Das Schaubild gibt neben dem Graphen der Kosinus- (rote Linie) nochmals denjenigen der Sinusfunktion (graue Linie) zu Vergleichszwecken wieder; wir erkennen eine sehr enge Verwandtschaft, die wir noch thematisieren werden.
Welche wichtigen Eigenschaften besitzt die Kosinusfunktion?

• Die Kosinusfunktion ist ebenfalls eine periodische Funktion. Die Periode ist wieder $2\pi$ bzw. ${360}^{\circ }$.
  
• Der Definitionsbereich der Kosinusfunktion ist ganz $ℝ$, also $D_{\cos }=ℝ$, der Wertebereich das Intervall von $-1$ bis $+1$, die Endpunkte inbegriffen, also $W_{\cos }=[-1;+1]$.
  
• Aus dem obigen Bild der Graphen von $\cos (\alpha )$ und $\sin (\alpha )$ ergibt sich unmittelbar, dass
  
  ${\displaystyle \cos (\alpha )=\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})}$
  
  für alle reellen Werte von $\alpha$ gilt. Ebenso richtig, aber etwas schwieriger einzusehen, ist
  
  ${\displaystyle \cos (\alpha )=-\sin (\alpha -\frac{\pi }{2})\hspace{0.5em}.}$
  
  
  

Wie im Falle des Sinus gibt es auch für den Kosinus eine allgemeine Kosinusfunktion, in deren Definition zusätzliche Freiheiten in Form von Parametern auftauchen (Amplitudenfaktor $B$, Frequenzfaktor $c$ sowie Verschiebekonstante $d$); auf diese Art und Weise eröffnet sich wiederum die Möglichkeit, den Funktionsverlauf an unterschiedliche Situationen (in Anwendungsbeispielen) anzupassen:


${\displaystyle g:\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill ℝ& \hfill \to \hfill & [-A;+A]\hfill \\ \hfill x& \hfill ⟼\hfill & g(x)=B\cos (\mathrm{cx}+d)\hfill \end{array}}$

.

 
Der Tangens ist gegeben als das Verhältnis von Sinus zu Kosinus. Also $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$. Damit ist sofort klar, dass die Tangensfunktion nicht auf allen reellen Zahlen definiert sein kann, denn schließlich besitzt die Kosinusfunktion unendliche viele Nullstellen, wie man z.B. in Aufgabe 6.5.2 sehen kann. In Aufgabe 6.5.2 wird auch die Lage der Nullstellen von $\cos$ bestimmt ($\cos (\alpha )=0\iff \alpha \in \{\frac{2k+1}{2}·\pi ;k\in \mathbb{Z}\}$); demzufolge ist der Definitionsbereich der Tangensfunktion $D_{\tan }=ℝ\setminus \{\frac{2k+1}{2}·\pi ;k\in \mathbb{Z}\}$.
Und wie sieht es mit dem Wertebereich aus? Bei den $\cos$-Nullstellen wird die Tangensfunktion gegen positiv bzw. negativ unendliche Werte streben und Polstellen haben und bei den $\sin$-Nullstellen wird $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$ Null. Dazwischen sind alle reellen Werte möglich, daher ist $W_{\tan }=ℝ$. Insgesamt ergibt sich für den Graphen der Tangensfunktion

${\displaystyle \tan :\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill ℝ\setminus \{\frac{2k+1}{2}·\pi ;k\in \mathbb{Z}\}& \hfill \to \hfill & ℝ\hfill \\ \hfill \alpha & \hfill ⟼\hfill & \tan (\alpha )\hfill \end{array}}$

folgendes Bild: Die Tangensfunktion verläuft zudem periodisch, allerdings mit der Periode $\pi$ bzw. ${180}^{\circ }$.