Kapitel 6 Elementare Funktionen

Abschnitt 6.3 Potenzfunktionen

6.3.2 Wurzelfunktionen

Beispiel 6.3.1
Untersucht man einen Körper, der sich im freien Fall im homogenen Gravitationsfeld der Erde befindet, so kann man folgenden Zusammenhang zwischen seiner Fallzeit und seinem zurückgelegten Weg feststellen:
Fallzeit t in Sekunden 0 2 g 2 g ·1.5 2 g ·2 2 g ·3
zurückgelegter Weg s in Metern 0 1 2.25 4 9

Dabei ist g≈9.81 m s2 die physikalische Konstante der Fallbeschleunigung. Trägt man nun diese Werte in einem Diagramm mit t auf der y-Achse und s auf der x-Achse auf, erhält man:

Dies legt nahe, dass man den Zusammenhang zwischen t und s, mit s als Veränderlichen, mathematisch durch die Funktion

t:  { [0;∞)→ℝ s⟼ 2 g ·s

beschreiben kann, also eine Funktion, in deren Abbildungsvorschrift die Wurzel (genauer gesagt die Quadratwurzel) der Veränderlichen vorkommt. Ihr Graph beinhaltet dann die obigen gemessenen Punkte:

Dieses Beispiel zeigt, dass Funktionen mit Abbildungsvorschriften, die Wurzeln der Veränderlichen enthalten, natürlicherweise in Anwendungen der Mathematik auftauchen.
Für natürliche Zahlen n∈ℕ, n>1 bezeichnet man die Funktionen

fn :  { D fn →ℝ x⟼xn= x 1 n

als die Klasse der Wurzelfunktionen. Diese beinhalten offenbar die Quadratwurzel f2 (x)=x, die dritte Wurzel f3 (x)=x3, die vierte Wurzel f4 (x)=x4, usw. als Abbildungsvorschriften von Funktionen (vgl. Potenzgesetze).
Aufgabe 6.3.2
Benutzen Sie die Potenzrechengesetze, um die Abbildungsvorschrift der Wurzelfunktionen ohne Wurzelzeichen und stattdessen mit Hilfe von Exponenten aufzuschreiben.

Aufgabe 6.3.3
Welche Funktion fn ergäbe sich für n=1?

Von großem Interesse ist nun der größtmögliche Definitionsbereich D fn , der für diese Wurzelfunktionen möglich ist. Denn offenbar kommt es auf den Wurzelexponenten n an, welche Werte man für x in die Abbildungsvorschriften einsetzen darf, um reelle Werte als Ergebnisse zu erhalten. So erkennen wir, dass bei der Quadratwurzel   nur nicht-negative Werte ein reelles Ergebnis liefern. Betrachten wir allerdings die Kubikwurzel  3, so erhalten wir in diesem Fall, dass alle reellen Zahlen eingesetzt wieder reelle Zahlen als Ergebnis liefern, so etwa -273=-3. Allgemein gilt:
Info 6.3.4
 
Die Wurzelfunktionen

fn :  { D fn →ℝ x⟼xn

mit n∈ℕ und n>1 besitzen den größtmöglichen Definitionsbereich D fn =[0;∞) falls n gerade ist und D fn =ℝ falls n ungerade ist.

Damit erhält man folgendes Aussehen für die Graphen der ersten vier Wurzelfunktionen f2 , f3 , f4 , f5 :

Aus dem Verlauf der Graphen erkennt man, dass alle Wurzelfunktionen streng monoton wachsend sind.
Aufgabe 6.3.5
Bestimme für die Wurzelfunktionen

fn :  { D fn →ℝ x⟼xn

mit n∈ℕ, n>1, den Wertebereich W fn , in Abhängigkeit davon ob n gerade oder ungerade ist.


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