Kapitel 6 Elementare Funktionen

Abschnitt 6.4 Exponentialfunktion und Logarithmus

6.4.3 Eulersche Funktion

Es gibt eine ganz besondere Exponentialfunktion, manchmal auch als die Exponentialfunktion bezeichnet, um die wir uns jetzt kümmern wollen. In der Tat lassen sich, wie wir sehen werden, alle anderen Exponentialfunktionen auf diese besondere Exponentialfunktion zurückführen. Sie besitzt als Basis die eulersche Zahl $e$. Ihr (ungefährer) Wert beträgt

${\displaystyle e=2.718281828459045235\dots \hspace{0.5em}.}$


Betrachten wir also - zunächst ohne irgendwelche zusätzlichen Parameter - den Graphen der Exponentialfunktion,


${\displaystyle g:\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill ℝ& \hfill \to \hfill & (0;\infty \hfill \\ \hfill x& \hfill ⟼\hfill & g(x)=e{}^x\hfill \end{array}}$


wegen der Basis $e$ auch $e$-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion genannt: Wenig überraschend zeigt auch die $e$-Funktion das bereits in 6.4.2 diskutierte Verhalten der Exponentialfunktionen $x\mapsto a^x$ $(a>1)$; schließlich haben wir für die Basis ja auch nur einen speziellen Wert, nämlich $a=e$, gewählt. Insbesondere halten wir nochmals fest, dass die $e$-Funktion streng monoton wachsend ist, sich für große negative $x$-Werte an die negative $x$-Achse anschmiegt und für $x=0$ den Wert $1$ annimmt.
Eingangs dieses Unterabschnitts haben wir behauptet, dass sich die weiter oben besprochenen Exponentialfunktionen auf die $e$-Funktion zurückführen lassen. Dies gelingt mit Hilfe der Identität

${\displaystyle a^x=e{}^{x·\ln (a)}\hspace{0.5em},}$

die für beliebige reelle $a>0$ und beliebige reelle $x$ gilt. Dabei bezeichnet $\ln$ den natürlichen Logarithmus, dessen Funktionsgestalt uns im folgenden Abschnitt 6.4.4 noch ausgiebig beschäftigen wird.
Allgemeine $e$-Funktionen enthalten die bereits in Unterabschnitt 6.4.2 eingeführten Parameter $f_0$ und $\lambda$; ihre funktionale Gestalt sieht also folgendermaßen aus:

${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill f:& \hfill ℝ& \hfill \to \hfill & (0;\infty )\hfill \\ \hfill & \hfill x& \hfill ⟼\hfill & f(x)=f_0·e{}^{\lambda x}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$

Wiederum repräsentiert $f_0$ die Möglichkeit von $1$ verschiedener Start- oder Anfangswerte, und der Faktor $\lambda$ im Exponenten gestattet unterschiedlich starke (positive oder negative) Wachstumsraten. Wir wollen dies abschließend an einem Beispiel verdeutlichen: