7.1.1 Einführung

Eine Familie ist mit dem Auto unterwegs in den Urlaub. Der Wagen fährt mit einer Geschwindigkeit von $60\hspace{0.17em}\mathrm{km}/\mathrm{h}$ durch eine Baustelle. Am Ende der Baustelle steht ein Schild, das ab sofort wieder eine Geschwindigkeit von $120\hspace{0.17em}\mathrm{km}/\mathrm{h}$ erlaubt. Auch wenn die Fahrerin oder der Fahrer so kräftig wie nur irgend möglich auf das Gaspedal tritt, die Geschwindigkeit des Wagens wird sich nicht sprunghaft ändern, sondern in Abhängigkeit von der Zeit steigen. Wird die Geschwindigkeit innerhalb von 5 Sekunden von $60\hspace{0.17em}\mathrm{km}/\mathrm{h}$ auf $120\hspace{0.17em}\mathrm{km}/\mathrm{h}$ mit einer konstanten Änderungsrate erhöht, dann ist die Beschleunigung (= Geschwindigkeitsänderung pro Zeit) im vorliegenden Fall diese konstante Änderungsrate der Geschwindigkeit: Die Beschleunigung ergibt sich als Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung und der dafür benötigten Zeit. Ihr Wert ist hier also $12$ Kilometer pro Stunde pro Sekunde. In der Realität wird die Geschwindigkeit des Autos jedoch nicht mit einer konstanten Änderungsrate erhöht werden können, sondern mit einer zeitabhängigen Änderungsrate. Beschreibt man die Geschwindigkeit als Funktion $v$ der Zeit $t$, erhält man die Beschleunigung als Steigung dieser Funktion, unabhängig davon, ob diese Steigung (zeitlich) konstant ist oder nicht. Mit anderen Worten: Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion $v$ nach der Zeit $t$.
Ähnliche Zusammenhänge finden sich auch in anderen technischen Bereichen, z.B. bei der Berechnung von inneren Kräften, die in Stahlgerüsten von Bauwerken wirken, der Vorhersage von Atmosphären- oder Meeresströmungen oder auch bei der heute so wichtigen Modellierung der Finanzmärkte.
Dieses Kapitel wiederholt die grundlegenden Ideen, die hinter diesen Berechnungen stecken, Gegenstand ist also die Differentialrechnung. Mit anderen Worten: Es werden Ableitungen von Funktionen gebildet und so deren Steigungen bzw. Änderungsraten bestimmt. Auch wenn hier diese Berechnungen streng mathematisch durchgeführt werden, ist die Motivation dafür nicht rein mathematischer Natur. Ableitungen nehmen in vielen wissenschaftlichen Bereichen in der Interpretation als Änderungsraten verschiedener Funktionen eine wichtige Rolle ein und werden oft als herausragende Größen untersucht.