Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.5 Anwendungen

7.5.5 Beispiel

Dazu soll ein Beispiel etwas genauer betrachtet werden: Es geht also um die Minimierung der Oberfläche einer zylinderförmigen Dose bei einem vorgegebenen Volumen (Grundfläche mal Höhe)

${\displaystyle \begin{array}{c}\multicolumn{1}{c}{V=\pi r^{2}h=1\hspace{0.5em},}\end{array}}$
wobei $r$ der Radius der Grundfläche und $h$ die Höhe der Dose sind. Die Oberfläche setzt sich aus dem Deckel und dem Boden (jeweils mit einer Fläche der Größe $\pi r^2$) und der Mantelfläche (der Größe $2\pi rh$) zusammen, und man erhält $O=2\pi r^2+2\pi rh$. Die Oberfläche der Dose ist eine Funktion vom Radius $r$ und von der Höhe $h$. Im Gegensatz dazu wird dem Volumen ein fester Wert zugeordnet (Nebenbedingung). Es kann also geschrieben werden:

${\displaystyle \begin{array}{c}\multicolumn{1}{c}{O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh\hspace{0.5em}.}\end{array}}$
Wegen der Nebenbedingung, dass $V=\pi r^{2}h=1$ sein soll, kann man dieses Problem in ursprünglich zwei Variablen ($r$ und $h$) auf ein Problem mit nur noch einer Variablen reduzieren. Umformen des Volumens nach der Höhe der Dose führt auf:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\pi r^{2}h}& =\hfill & 1\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }h}& =\hfill & \frac{1}{\pi r^2}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
Nach dem Einsetzen dieser Formel in die Funktion $O(r,h)$ resultiert eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt und die der Einfachheit halber ebenfalls $O$ genannt werde:

${\displaystyle \begin{array}{c}\multicolumn{1}{c}{O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\frac{1}{\pi r^2}=2(\pi r^2+\frac{1}{r})=O\left(r\right)\hspace{0.5em}.}\end{array}}$
Nach dieser Manipulation kann die Frage nach der minimalen Oberfläche der Dose ganz analog zu den Extremwertaufgaben von Funktionen bearbeitet werden. Es wird also die erste Ableitung der Funktion $O$ nach der Variablen $r$ gebildet und diese gleich Null gesetzt:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{O\text{'}\left(r\right)=2(2\pi r-\frac{1}{r^2})}& =\hfill & 0\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }2\pi r}& =\hfill & \frac{1}{r^2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }2\pi r^3}& =\hfill & 1\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }{r}^3}& =\hfill & \frac{1}{2\pi }\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }r}& =\hfill & \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
Für die letzte Äquivalenzumformung wurde verwendet, dass der Radius $r$ keine negativen Werte annehmen kann. Einsetzen dieses Ergebnisses in die zweite Ableitung von $O$ dient der Überprüfung, ob wirklich ein Minimum gefunden wurde ($O\text{'}\text{'}(r)=4\pi +4/r^3$):

${\displaystyle \begin{array}{c}\multicolumn{1}{c}{O\text{'}\text{'}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\right)=4\pi +\frac{4}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\right)}^3}=12\pi >0\hspace{0.5em}.}\end{array}}$
Für den Radius $r=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}$ wird die Oberfläche der zylindrischen Dose mit dem gegebenen Volumen $V=1$ minimal. Die Höhe erhält man in diesem Fall zu $h=\frac{1}{\pi {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\right)}^2}=\sqrt[3]{\frac{4}{\pi }}$. Wird eine Dose mit diesen Maßen hergestellt, wird für das im Beispiel vorgegebene Volumen der Materialverbrauch minimiert.