7.3.4 Verkettung von Funktionen

Gesucht wird die Ableitung der Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=(3-2x{)}^5$. Soll die Kettenregel angewendet werden, sind eine innere und eine äußere Funktion zu identifizieren. Setzt man für die innere Funktion $u$ den Funktionsterm $u(x)=3-2x$, dann ist die äußere Funktion $v$ durch $v(u)=u^5$ gegeben. Damit gilt wie verlangt $v(u(x))=f(x)$.
Ableiten der inneren Funktion $u$ nach $x$ liefert $u\text{'}(x)=-2$. Für die äußere Ableitung differenziert man $v$ nach $u$ und findet $v\text{'}(u)=5u^4$. Einsetzen dieser Zwischenergebnisse in die Kettenregel führt auf die Ableitung $f\text{'}$ der Funktion $f$ mit:

${\displaystyle f\text{'}(x)=5(u(x{))}^4·(-2)=5(3-2x{)}^4·(-2)=-10(3-2x{)}^4\hspace{0.5em}.}$

Als zweites Beispiel soll die Ableitung von $g:ℝ\to ℝ$ mit $g(x)=e{}^{x^3}$ berechnet werden. Dazu bieten sich die Zuordnungen $x\to u(x)=x^3$ für die innere Funktion $u$ und $u\to v(u)=e{}^u$ für die äußere Funktion $v$ an. Die Bestimmung der inneren und der äußeren Ableitung führt auf $u\text{'}(x)=3x^2$ und $v\text{'}(u)=e{}^u$. Setzt man beides in die Kettenregel ein, erhält man die Ableitung der Funktion $g$:

${\displaystyle g\text{'}:ℝ\to ℝ\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}x\to g\text{'}(x)=e{}^{u(x)}·3x^2=e{}^{x^3}·3x^2=3x^{2}e{}^{x^3}\hspace{0.5em}.}$