Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.6 Abschlusstest

7.6.1 Abschlusstest Kapitel 7

Dies ist ein einreichbarer Test:
  • Im Gegensatz zu den offenen Aufgaben werden beim Eingeben keine Hinweise zur Formulierung der mathematischen Ausdrücke gegeben.
  • Der Test kann jederzeit neu gestartet oder verlassen werden.
  • Der Test kann durch die Buttons am Ende der Seite beendet und abgeschickt, oder zurückgesetzt werden.
  • Der Test kann mehrfach probiert werden. Für die Statistik zählt die zuletzt abgeschickte Version.

Aufgabe 7.6.1
In einem Behälter wird um 9 Uhr eine Temperatur von - 10∘ C gemessen. Um 15 Uhr beträgt die Temperatur - 58∘ C. Nach weiteren vierzehn Stunden ist die Temperatur auf - 140∘ C gefallen.
  1. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate pro Stunde der Temperatur aufgrund der ersten und zweiten Messung?
    Antwort:
  2. In der (mittleren) Änderungsrate drückt sich die Eigenschaft der fallenden Temperatur dadurch aus, dass die Änderungsrate
    ist.
  3. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur über die gesamte Messdauer.
    Antwort:

Aufgabe 7.6.2
Zu einer Funktion f:[-3;2]→ℝ, x→f(x) gehört die Ableitung f', deren Graph hier gezeichnet ist:

Die Funktionswerte von f zwischen -3 und 0
  sind konstant,
  nehmen um 3 zu,
  nehmen ab.
 

Die Funktion f besitzt an der Stelle 0
  eine Sprungstelle,
  keine Ableitung,
   1 als Wert der Ableitung.

Aufgabe 7.6.3
Berechnen Sie für
  1. f:{x∈ℝ : x>0}→ℝ mit f(x):=ln( x3 + x2 ) den Wert der Ableitung f' an der Stelle x:
    f'(x)=
     .
  2. g:ℝ→ℝ mit g(x):=x·e-x den Wert der zweiten Ableitung g'' an der Stelle x:
    g''(x)=
     .
Klammern Sie die Terme, um Missverständnisse zu vermeiden, z.B. schreiben Sie x+1 (x+2 )2 als (x+1)/((x+2)^2). Geben Sie e-x als exp(-x) ein.

Aufgabe 7.6.4
Betrachten Sie die Funktion f: ]0;∞[ →ℝ, x→f(x) mit f'(x)=x·lnx. In welchen Bereichen ist f monoton fallend, in welchen Bereichen ist f konkav? Geben Sie als Bereiche möglichst große offene Intervalle ]c;d[ an:
  1. f ist auf
    monoton fallend.
  2. f ist auf
    konkav.
Offene Intervalle können in der Form (a;b) eingetippt werden, geschlossene Intervalle als [a;b], a und b dürfen beliebige Ausdrücke sein. Verwenden Sie bei der Intervalleingabe nicht die Notation ]a;b[ für offene Intervalle. Schreiben Sie infty oder unendlich für ∞ in Ihrer Antwort.

 
        

Hier erscheint die Testauswertung!


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