Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.1 Ableitung einer Funktion

7.1.2 Relative Änderungsrate einer Funktion

Es sollen eine Funktion $f:[a;b]\to ℝ$, $x\to f(x)$ sowie eine Skizze des Graphen von $f$ (siehe unten) betrachtet werden. Das Ziel ist die Beschreibung der Änderungsrate dieser Funktion an einer beliebigen Stelle $x_0$ zwischen $a$ und $b$. Dies wird auf den Begriff der Ableitung einer Funktion führen. Generell sollen möglichst einfache Rechenregeln Anwendung finden.

Werden $x_0$ und der entsprechende Funktionswert $f\left(x_0\right)$ festgehalten und eine weitere beliebige, aber variable Stelle $x$ zwischen $a$ und $b$ sowie ihr Funktionswert $f\left(x\right)$ ausgewählt, so lässt sich durch diese beiden Punkte, also durch $(x_0;f(x_0))$ und $(x;f(x))$, eine Gerade legen, die durch ihre Steigung und ihren $y$-Achsenabschnitt charakterisiert wird. Als Steigung dieser Geraden erhält man den sogenannten Differenzenquotienten


${\displaystyle \frac{\Delta (f)}{\Delta (x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\hspace{0.5em},}$

der beschreibt, wie sich die Funktionswerte von $f$ im Mittel zwischen $x_0$ und $x$ ändern. Damit ist eine mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im Intervall $[x_0;x]$ gefunden. Dieser Quotient wird auch als relative Änderung bezeichnet.
Strebt nun die variable Stelle $x$ gegen die Stelle $x_0$, so stellt man fest, dass die Gerade, die den Graphen der Funktion in den Punkten $(x_0;f\left(x_0\right))$ und $(x;f\left(x\right))$ schneidet, immer mehr zu einer Tangente an den Graphen im Punkt $(x_0;f\left(x_0\right))$ wird. Auf diese Weise kann die Änderungsrate der Funktion $f$ - oder die Steigung des Graphen von $f$ - an der Stelle $x_0$ selbst bestimmt werden. Führt der geschilderte Prozess der Annäherung von $x$ an $x_0$ bildlich gesprochen auf eine eindeutige Tangente (mit einer eindeutigen Steigung, die insbesondere nicht unendlich sein darf), so spricht man in der Mathematik davon, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Beschrieben wird dieser Grenzwertprozess, dass $x$ gegen $x_0$ strebt, hier und im Folgenden mit dem Symbol

${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}\hspace{0.5em},}$
wobei $lim$ abkürzend für Limes, das lateinische Wort für Grenze, steht. Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten, so bezeichnet


${\displaystyle f\text{'}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\Delta (f)}{\Delta (x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$

den Wert der Ableitung von $f$ in $x_0$. Die Funktion $f$ ist dann an der Stelle $x_0$ ableitbar bzw. differenzierbar.


Über die Formel für die relative Änderungsrate kann man die Ableitung nur sehr mühsam und auch nur für sehr einfache Funktionen ausrechnen. Typischerweise bestimmt man die Ableitung durch Anwenden von Rechenregeln und durch Einsetzen bekannter Ableitungswerte für die einzelnen Bausteine.