7.4.2 Monotonie

Die Funktion $f:ℝ\to ℝ,x\to x^3$ ist differenzierbar mit $f\text{'}(x)=3x^2$. Da $x^2\ge 0$ für alle $x\in ℝ$ gilt, ist $f\text{'}(x)\ge 0$ und damit $f$ monoton wachsend.
Für $g:ℝ\to ℝ$ mit $g(x)=2x^3+6x^2-18x+10$ besitzt $g\text{'}(x)=6x^2+12x-18=6(x+3)(x-1)$ die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=1$. Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens werden also drei Bereiche unterschieden, in denen die Ableitung $g\text{'}$ jeweils ein anderes Vorzeichen hat.
Mit Hilfe folgender Tabelle wird bestimmt, in welchen Bereichen die Ableitung von $g$ positiv bzw. negativ ist. Diese Bereiche entsprechen den Monotoniebereichen von $g$. Die untersuchten Terme ergeben sich aus den einzelnen Faktoren von $g$. Der Eintrag $+$ besagt, dass der betrachtete Term im angegebenen Intervall positiv ist. Wenn er negativ ist, wird $-$ eingetragen:

${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill x\hfill & \hfill x<-3\hfill & \hfill -3<x<1\hfill & \hfill 1<x\hfill \\ \\ \hfill x+3\hfill & \hfill -\hfill & \hfill +\hfill & \hfill +\hfill \\ \hfill x-1\hfill & \hfill -\hfill & \hfill -\hfill & \hfill +\hfill \\ \hfill g\text{'}(x)\hfill & \hfill +\hfill & \hfill -\hfill & \hfill +\hfill \\ \\ \hfill g\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{ist monoton}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\hfill & \hfill \mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{wachsend}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\hfill & \hfill \mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{fallend}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\hfill & \hfill \mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{wachsend}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\hfill \end{array}}$
Die Funktion $g$ ist im Intervall $]-\infty ;-3[$ monoton wachsend, im Intervall $]-3;1[$ monoton fallend und im Intervall $]1;\infty [$ wieder monoton wachsend.

Für die Funktion $h:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ$ mit $h(x)=\frac{1}{x}$ gilt $h\text{'}(x)=-\frac{1}{x^2}$. Hier ist $h\text{'}(x)<0$ für alle $x\ne 0$.
Auch wenn für die beiden Teilbereiche $x<0$ und $x>0$ dasselbe Monotonieverhalten auftritt, ist $h$ nicht über den gesamten Definitionsbereich monoton fallend. Als Gegenbeispiel kann $h(-2)=-\frac{1}{2}$ und $h(1)=1$ angeführt werden. Hier gilt $-2<1$, aber auch $h(-2)<h(1)$. Dies entspricht einem wachsenden Verhalten beim Übergang vom einen zum anderen Teilbereich. Deshalb ist es wichtig deutlich zu unterscheiden, dass die Funktion $h$ auf dem Intervall $]-\infty ;0[$ und ebenfalls auf dem Intervall $]0;\infty [$ monoton fallend ist.