Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.4 Eigenschaften von Funktionen

7.4.3 Zweite Ableitung und Krümmungseigenschaften


Gegenstand der Untersuchung ist eine Funktion f:D→ℝ, die auf dem Intervall ]a;b[ ⊆D differenzierbar ist. Ist deren Ableitung f' ebenfalls auf dem Intervall ]a;b[ ⊆D differenzierbar, so heißt f zweimal differenzierbar. Bildet man die Ableitung der ersten Ableitung von f, dann nennt man (f')'=f'' die zweite Ableitung der Funktion f.
Die zweite Ableitung der Funktion f kann verwendet werden, um das Krümmungsverhalten der Funktion zu untersuchen:
Krümmungseigenschaften 7.4.3
Ist f''(x)≥0 für alle x zwischen a und b, dann heißt f auf dem Intervall ]a;b[ konvex (linksgekrümmt).
Ist f''(x)≤0 für alle x zwischen a und b, dann heißt f auf dem Intervall ]a;b[ konkav (rechtsgekrümmt).

Somit genügt es, das Vorzeichen der zweiten Ableitung f'' zu bestimmen, um zu erkennen, ob eine Funktion konvex (linksgekrümmt) oder konkav (rechtsgekrümmt) ist.
Anmerkung zur Notation 7.4.4
Die zweite Ableitung und weitere „höhere“ Ableitungen werden oft mit hochgestellten natürlichen Zahlen in runden Klammern notiert: f(k) bezeichnet dann die k-te Ableitung von f. Diese Notation wird besonders in allgemein gehaltenen Formeln auch für die (erste) Ableitung ( k=1) und für die Funktion f selbst ( k=0) verwendet.
Damit bezeichnet
  • f(0) =f die Funktion f,
  • f(1) =f' die (erste) Ableitung,
  • f(2) =f'' die zweite Ableitung,
  • f(3) die dritte Ableitung,
  • f(4) die vierte Ableitung von f.
Diese Liste kann selbstverständlich beliebig lange fortgeführt werden, solange die Ableitungen von f existieren.

Das folgende Beispiel zeigt, dass eine monoton wachsende Funktion in einem Bereich konvex und in einem anderen konkav sein kann.
Beispiel 7.4.5
Die Funktion f:ℝ→ℝ,x→ x3 ist sicherlich mindestens zweimal differenzierbar. Wegen f'(x)=3 x2 ≥0 für alle x∈ℝ ist f auf dem gesamten Definitionsbereich monoton wachsend.
Weiter ist f''(x)=6x. Somit ist für x<0 auch f''(x)<0 und damit f hier konkav (nach rechts gekrümmt). Für x>0 ist f''(x)>0, sodass f für x>0 konvex (nach links gekrümmt) ist.