Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.3 Rechenregeln

7.3.5 Aufgaben

Aufgabe 7.3.9

Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen

f, g

und

h

mit den gegebenen Funktionstermen:

$f (x) : = 3 + 5 x$ führt auf $f' (x) =$ .
$g (x) : = \frac{1}{4 x} - x^{3}$ führt auf $g' (x) =$ .
$h (x) : = 2 \sqrt{x} + 4 x^{- 3}$ führt auf $h' (x) =$ .

Es ist $f' (x) = 0 + 5 \cdot 1 \cdot x^{0} = 0 + 5 = 5$ .
Wegen $g (x) = \frac{1}{4 x} - x^{3} = \frac{1}{4} x^{- 1} - x^{3}$ folgt $g' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- 1) \cdot x^{- 2} - 3 \cdot x^{2} = - \frac{1}{4 x^{2}} - 3 x^{2}$ .
Wegen $h (x) = 2 \sqrt{x} + 4 x^{- 3} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- 3}$ folgt $h' (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot (- 3) \cdot x^{- 4} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{12}{x^{4}}$ .

Aufgabe 7.3.10

Berechnen und vereinfachen Sie die Ableitungen der Funktionen

f, g

und

h

mit den gegebenen Funktionstermen:

$f (x) : = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ führt auf $f' (x) =$ .
$g (x) : = \sin (3 x) \cdot \cos (3 x)$ führt auf $g' (x) =$ .
$h (x) : = \frac{\sin (3 x)}{\sin (6 x)}$ führt auf $h' (x) =$ .

Es ist mit Hilfe der Quotientenregel

$f' (x) = \frac{(- \sin (x)) \cdot \sin (x) - \cos (x) \cdot \cos (x)}{{(\sin (x))}^{2}} = - \frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = - \frac{1}{\sin^{2} (x)} .$
Produkt- und Kettenregel liefern

$g' (x) = \cos (3 x) \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot (- \sin (3 x)) \cdot 3 = 3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)) .$
Da allgemein $\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) = \cos (2 u)$ gilt, folgt also $g' (x) = 3 \cos (6 x)$ .
Aufgrund der allgemeinen Relation $\sin (2 u) = 2 \sin (u) \cos (u)$ ist

$h (x) = \frac{\sin (3 x)}{\sin (6 x)} = \frac{\sin (3 x)}{2 \sin (3 x) \cos (3 x)} = \frac{1}{2 \cos (3 x)} = \frac{1}{2} \cdot {(\cos (3 x))}^{- 1} .$
Mehrmaliges Anwenden der Kettenregel führt dann auf

$h' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- 1) \cdot {(\cos (3 x))}^{- 2} \cdot (- \sin (3 x)) \cdot 3 = \frac{3 \sin (3 x)}{2 \cos^{2} (3 x)} = \frac{3 \tan (3 x)}{2 \cos (3 x)} .$

Aufgabe 7.3.11

Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen

f, g

und

h

mit den gegebenen Funktionstermen und fassen Sie soweit wie möglich zusammen:

$f (x) : = e^{5 x}$ führt auf $f' (x) =$ .
$g (x) : = x \cdot e^{6 x}$ führt auf $g' (x) =$ .
$h (x) : = (x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x}$ führt auf $h' (x) =$ .

Die Kettenregel liefert sofort $f' (x) = 5 e^{5 x}$ .
Produkt- und Kettenregel führen auf $g' (x) = 1 \cdot e^{6 x} + x \cdot e^{6 x} \cdot 6 = e^{6 x} (1 + 6 x)$ .
Produkt- und Kettenregel führen auf $h' (x) = (2 x - 1) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - (2 x^{2} - 4 x + 1) e^{- 2 x}$ .

Aufgabe 7.3.12

Berechnen Sie die ersten vier Ableitungen von

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) : = \sin (1 - 2 x)

.
Antwort: Die

k

-te Ableitung von

f

wird mit

f^{(k)}

bezeichnet. Dabei ist

f^{(1)} = f'

f^{(2)}

die Ableitung von

f^{(1)}

f^{(3)}

die Ableitung von

f^{(2)}

usw. Damit:

$f^{(1)} (x) =$ .
$f^{(2)} (x) =$ .
$f^{(3)} (x) =$ .
$f^{(4)} (x) =$ .

Mit Hilfe der Kettenregel bestimmt man sukzessive:

\begin{matrix} f^{(1)} (x) & = & \cos (1 - 2 x) \cdot (- 2) = - 2 \cos (1 - 2 x), \\ f^{(2)} (x) & = & - 2 \cdot (- \sin (1 - 2 x)) \cdot (- 2) = - 4 \sin (1 - 2 x), \\ f^{(3)} (x) & = & - 4 \cdot \cos (1 - 2 x) \cdot (- 2) = 8 \cos (1 - 2 x), \\ f^{(4)} (x) & = & 8 \cdot (- \sin (1 - 2 x)) \cdot (- 2) = 16 \sin (1 - 2 x) . \end{matrix}

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