7.3.3 Produkt und Quotient von Funktionen

Gesucht ist die Ableitung von $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=x^2·e{}^x$. Anwenden der Produktregel mit (z.B.) $u(x)=x^2$ und $v(x)=e{}^x$ führt auf $u\text{'}(x)=2x$ und $v\text{'}(x)=e{}^x$. Werden diese Teilergebnisse mit der Produktregel zusammengesetzt, dann resultiert die Ableitung der Funktion $f$:

${\displaystyle f\text{'}:ℝ\to ℝ\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}x\to f\text{'}(x)=2xe{}^x+x^{2}e{}^x=(x^2+2x)e{}^x\hspace{0.5em}.}$
Als Nächstes soll die Tangensfunktion $g$ mit $g(x)=\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ($\cos (x)\ne 0$) untersucht werden. Durch Vergleich mit der Quotientenregel liest man $u(x)=\sin (x)$ und $v(x)=\cos (x)$ ab. Mit $u\text{'}(x)=\cos (x)$ und $v\text{'}(x)=-\sin (x)$ können die Teilergebnisse mit Hilfe der Quotientenregel zur Ableitung der Funktion $g$ zusammengefügt werden; es folgt:

${\displaystyle g\text{'}(x)=\frac{\cos (x)·\cos (x)-\sin (x)·(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}\hspace{0.5em}.}$
Dieses Ergebnis lässt sich zu einem der folgenden Ausdrücke zusammenfassen:

${\displaystyle g\text{'}(x)=1+{\left(\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)}^2=1+{\tan }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}\hspace{0.5em}.}$
Für das letzte Gleichheitszeichen wurde der in Modul 5 (Abschnitt 5.6.2) besprochene Zusammenhang ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$ verwendet.